Kako integrirate int sec ^ -1x z metodo integracije po delih?

Odgovor:

Odgovor je # = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Pojasnilo:

Potrebujemo

# (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integracija po delih je

# intu'v = uv-intuv '#

Tukaj smo

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Zato, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Drugi integral izvedite z zamenjavo

Let # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (sekutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (sek (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Let # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sek ^ 2u + secutanu) du #

Torej, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Končno, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Odgovor:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Pojasnilo:

Alternativno lahko uporabimo malo znano formulo za izdelavo integralov inverznih funkcij. Formula določa:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

kje # f ^ -1 (x) # je inverzna #f (x) # in #F (x) # je anti-izpeljava iz #f (x) #.

V našem primeru dobimo:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Zdaj je vse, kar moramo narediti, anti-derivat # F #, ki je znan sekantni integral:

#int (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Če ga ponovno vključimo v formulo, dobimo naš končni odgovor:

#int / s ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Paziti moramo na poenostavitev #tan (sec ^ -1 (x)) # do #sqrt (x ^ 2-1) # ker je identiteta veljavna samo, če # x # je pozitiven. Vendar imamo srečo, ker lahko to popravimo tako, da vnesemo absolutno vrednost v drugi izraz znotraj logaritma. To tudi odstrani potrebo po prvi absolutni vrednosti, saj bo vse znotraj logaritma vedno pozitivno:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #