Kaj je derivat x ^ n?

Za funkcijo #f (x) = x ^ n #, n bi morala ne iz razlogov, ki bodo postali jasni. n mora biti celo število ali racionalno število (t.j. frakcija).

Pravilo je:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Z drugimi besedami, "izposodimo" moč x in jo naredimo s koeficientom izpeljave, nato pa odštejemo 1 od moči.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Kot sem omenil, je poseben primer, kjer je n = 0. To pomeni da

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Lahko uporabimo naše pravilo in tehnično dobite pravi odgovor:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Vendar pa bomo kasneje na progi naleteli na zaplete, ko bomo poskusili uporabiti inverzijo tega pravila.

Odgovor:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Spodaj so dokazi za vse številke, vendar le dokazilo za vsa cela števila uporablja osnovno znanje o definiciji derivatov. Dokaz za vse racionalnosti uporablja pravilo verige, za iracionalne pa implicitno razlikovanje.

Pojasnilo:

Ob tem bom vse povedal, da boste razumeli proces. Bodite pozorni na to #volja# precej dolga.

Od #y = x ^ (n) #, če #n = 0 # imamo #y = 1 # in derivat konstante je vedno nič.

Če # n # je katerokoli drugo pozitivno celo število, ki ga lahko vržemo v izpeljano formulo in uporabimo binomski izrek za reševanje nereda.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Kje # K_i # je ustrezna konstanta

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Delimo to # h #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Prvi znesek lahko vzamemo iz zneska

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Če vzamemo mejo, vse ostalo, kar je še vedno v znesku, gre na nič. Izračun # K_1 # vidimo, da je enako # n #, Torej

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Za # n # ki so negativna cela števila, je malo bolj zapletena. To vem # x ^ -n = 1 / x ^ b #, tako da #b = -n # in je zato pozitiven.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Odstranite prvi mandat

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Vzemi mejo, kje # K_1 = b #, ki jo nadomešča nazaj # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Za racionalizacijo moramo uporabiti pravilo verige. Tj.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Torej, vedeti to # x ^ (1 / n) = koren (n) (x) # in ob predpostavki #n = 1 / b # imamo

# (x ^ n) ^ b = x #

Če # b # je celo, odgovor je tehnično # | x | # toda to je dovolj za naše namene

Torej, z uporabo verižnega pravila imamo

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

In nenazadnje, z uporabo implicitne diferenciacije lahko dokažemo za vse realne številke, vključno z iracionalnimi.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #