Dokaži, da število sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) ni racionalno za katero koli naravno število n večje od 1?

Odgovor:

Oglejte si razlago …

Pojasnilo:

Recimo:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # je racionalna

Njihov kvadrat mora biti racionalen, tj.

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

in zato je tako:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Ponovno lahko kvadriramo in odštejemo, da ugotovimo, da mora biti razumno:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Zato # n = k ^ 2 # za nekaj pozitivnih števil #k> 1 # in:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Upoštevajte, da:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Zato # k ^ 2 + k-1 # ni kvadrat celo število #sqrt (k ^ 2 + k-1) # je iracionalen in nasprotujeta naši trditvi, da #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # je racionalna.

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Ob predpostavki

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # z # p / q # ne redukcijsko smo

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

kar je absurdno, saj je v skladu s tem rezultatom vsak koren pozitivnega celega števila racionalen.