Je x ^ 2 - 10x + 25 popoln kvadratni trinom in kako ga faktorizirate?

Odgovor:

#barva (magenta) (= (x-5) ^ 2 #

#25=5^2#

Glede na to, # x ^ 2-10x + 25 #

# = x ^ 2-10x + 5 ^ 2 #

Identiteta: #barva (rdeča) (a ^ 2-2 (ab) + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #

Tukaj, # a = x in b = 5 #

# zato # #barva (magenta) (= (x-5) ^ 2 #

To je popoln kvadrat! Trg je # (x-5) ^ 2 #

V popolnem kvadratnem trinomu je funkcija # (x + a) ^ 2 # razširi na:

# x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 #

Če poskušamo izjavo o problemu prilagoditi tej obliki, bi morali ugotoviti, kakšno vrednost # a # je to, da nam daje:

Reševanje prve enačbe:

# a = sqrt (25) rArr a = + - 5 #

Obstajata dve rešitvi za tam, ker je kvadrat negativnega ali pozitivnega realnega števila vedno pozitiven.

Poglejmo možne rešitve za drugo enačbo:

# a = -10 / 2 rArr a = -5 #

To se ujema z eno od rešitev za prvo enačbo, kar pomeni, da imamo ujemanje! # a = -5 #

Sedaj lahko napišemo popoln kvadrat kot:

# (x + (- 5)) ^ 2 # ali # (x-5) ^ 2 #

# x ^ 2-10x + 25 = (x-5) (x-5) = (x-5) ^ 2 #

Kot kvadratno lahko zapišemo kot # ax ^ 2 + bx + c #

Obstaja hiter način, da preverite, ali je popoln kvadratni trinom.

V popolnem kvadratnem trinomu obstaja poseben odnos med #b in c #

Polovica # b #, kvadrat bo enak # c #.

Razmislite:

# x ^ 2 barva (modra) (+ 8) x +16 "" larr (barva (modra) (8) div2) ^ 2 = 4 ^ 2 = 16 #

# x ^ 2 -20x + 100 "" larr (-20div2) ^ 2 = 100 #

# x ^ 2 + 14x + 49 "" larr (14 div2) ^ 2 = 49 #

V tem primeru:

# x ^ 2-10x + 25 "" larr (-10div2) ^ 2 = (-5) ^ 2 = 25 #

Odnos obstaja, zato je to popoln kvadratni trinom.

# x ^ 2-10x + 25 = (x-5) (x-5) = (x-5) ^ 2 #