Kako ocenjujete integral int (dt) / (t-4) ^ 2 od 1 do 5?

Odgovor:

Namestnik # x = t-4 #

Odgovor je, če ste res prosili, da najdete samo integral:

#-4/3#

Če iščete območje, to ni tako preprosto.

Pojasnilo:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Nastavi:

# t-4 = x #

Zato je razlika:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

In meje:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Sedaj nadomestite te tri vrednosti:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

OPOMBA: NE PREBERITE tega, če se niste učili, kako najti območje. Čeprav bi moralo to dejansko predstavljati območje med obema mejama in ker je vedno pozitivno, bi moralo biti pozitivno. Vendar pa je ta funkcija ni neprekinjeno na # x = 4 # torej ta integral ne predstavlja območja, če je to tisto, kar si želel. To je malo bolj zapleteno.

Odgovor:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Pojasnilo:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Odgovor:

Glede na to, koliko integracije ste se naučili, bo "najboljši" odgovor bodisi: "integral ni definiran" (še) ali "integral odstopa"

Pojasnilo:

Ko poskušamo oceniti # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, preveriti moramo, ali je integrand definiran na intervalu, na katerega se integriramo.

# 1 / (x-4) ^ 2 # ni definirano na #4#, tako je ne na celotnem intervalu #1,5#.

Zgodaj v študiji računa, definiramo integral z začetkom

"Naj # f # določite v intervalih # a, b #… '

Tako zgodaj v naši študiji je najboljši odgovor

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# ni opredeljena (še?)

Kasneje razširimo definicijo na tako imenovane "nepravilne integrale"

Ti vključujejo integrale na neomejenih intervalih (# (- oo, b #, # a, oo) # in # (- oo, oo) #) in tudi intervale, na katerih ima integrand točke, kjer ni opredeljena.

Da (poskusite) oceniti # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, ocenjujemo dva nepravilna integrala # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Upoštevajte, da integrand na njih še ni definiran zaprto intervalih.)

Metoda naj bi nadomestila točko, kjer je integrand nedefiniran s spremenljivko, nato pa vzemite mejo, ko se ta spremenljivka približa številki.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Najprej poiščimo integralno:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Iščem mejo kot # brarr4 ^ - #, Vidimo, da meja ne obstaja. (As # brarr4 ^ - #, vrednost # -1 / (b-4) # brez omejitev.)

Zato je integral nad #1,4# ne obstaja, torej celota nad #1,5# ne obstaja.

Pravimo, da se sestavni del razlikuje.

Opomba

Nekateri bi rekli: zdaj imamo a opredelitev integrala, preprosto se ne zgodi nobeno število, ki bi ustrezalo definiciji.