Trije Grki, trije Američani in trije Italijani naključno sedijo okoli okrogle mize. Kakšna je verjetnost, da bodo ljudje v treh skupinah sedeli skupaj?

Odgovor:

#3/280#

Pojasnilo:

Preštejmo načine, kako bi lahko vse tri skupine sedele ena poleg druge, in to primerjamo s številom načinov, ki bi jih lahko vseh 9 naključno sedeli.

Oštevali bomo ljudi od 1 do 9 in skupine #A, G, I. #

#stackrel A overbrace (1, 2, 3), stackrel G overbrace (4, 5, 6), stackrel I overbrace (7, 8, 9) #

Obstajajo 3 skupine, tako da obstajajo #3! = 6# načine za razvrščanje skupin v vrstico, ne da bi pri tem motili interna naročila:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

Doslej nam to daje 6 veljavnih prenašanj.

V vsaki skupini so trije člani, tako da spet obstajajo #3! = 6# načine, kako urediti člane v vsaki od treh skupin:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

V kombinaciji s šestimi načini, kako urediti skupine, imamo zdaj #6^4# veljavne permutacije.

In ker smo na okrogli mizi, dovoljujemo tri dogovore, pri katerih je prva skupina lahko "polovica" na enem koncu in "polovica" na drugi:

# "A A A G G I I" #

# "A A G G I I I" #

# "A G G G I I A A" #

Število skupnih načinov, kako dobiti vse tri skupine skupaj, je # 6 ^ 4 xx 3. #

Število naključnih načinov, kako urediti vseh 9 ljudi #9!#

Potem je verjetnost, da bi naključno izbrali enega od "uspešnih" načinov

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#