Najvišja točka na Zemlji je Mt. Everest, ki je 8857 m nadmorske višine. Če je polmer Zemlje do morske gladine 6369 km, koliko se velikost g spremeni med gladino morja in vrhom Mt. Everest?

Odgovor:

# "Zmanjšanje velikosti g" ~~ 0,0273 m / s ^ 2 #

Pojasnilo:

Let

#R -> "Polmer Zemlje do nivoja morja" = 6369 km = 6369000m #

#M -> "masa Zemlje" #

#h -> "višina najvišje točke" # "

# "Mt Everest z morske gladine" = 8857m #

#g -> "Pospešek zaradi gravitacije Zemlje" #

# "do nivoja morja" = 9,8 m / s ^ 2 #

#g '-> "Pospešek zaradi teže do najvišjega" #.

# "" "spot na Zemlji" #

#G -> "Gravitacijska konstanta" #

#m -> "masa telesa" #

Ko je telo mase m na morski gladini, lahko pišemo

# mg = G (mM) / R ^ 2 …….. (1) #

Ko je telo mase m na najvišji točki Eversta, lahko pišemo

# mg '= G (mM) / (R + h) ^ 2 …… (2) #

Deljenje (2) z (1) dobimo

# (g ') / g = (R / (R + h)) ^ 2 = (1 / (1 + h / R)) ^ 2 #

# = (1 + h / R) ^ (- 2) ~~ 1- (2h) / R #

(Zanemarjanje višjih pogojev moči od # h / R # kot # h / R "<<" 1 #)

Zdaj # g '= g (1- (2h) / R) #

Torej sprememba (zmanjšanje) velikosti g

# Deltag = g-g '= (2hg) / R = (2xx8857xx9.8) /6369000~~0.0273m/s^2#

Odgovor:

#approx -.027 m s ^ (- 2) #

Pojasnilo:

Newtonov zakon za gravitacijo

# F = (GMm) / (r ^ 2) #

In # g # se izračuna na zemeljski površini # r_e # kot sledi:

# m g_e = (GMm) / (r_e ^ 2) #

Torej #g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

če bi izračunali drugače # g #Dobili bi

#g_ (everest) - g_ (morje) = GM (1 / (r_ (everest) ^ 2) - 1 / (r_ (morje) ^ 2)) #

# GM = 3.986005 krat 10 ^ 14 m ^ 3 s ^ (- 2) #

#approx 3.986005-krat 10 ^ 14 * (1 / (6369000 + 8857) ^ 2) - 1 / (6369000 ^ 2)) #

#approx -.027 m s ^ (- 2) #

Uporaba diferencialov za dvojno preverjanje:

#g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

#implies ln (g_e) = ln ((GM) / (r_e ^ 2)) = ln (GM) - 2 ln (r_e) #

# (dg_e) / (g_e) = - 2 (dr_e) / (r_e) #

#dg_e = - 2 (dr_e) / (r_e) g_e = -2 * 8857/6369000 * 9.81 = -0.027 ms ^ (- 2) #