Kaj je nova metoda preoblikovanja za reševanje kvadratnih enačb?

Recite, na primer, da imate …

# x ^ 2 + bx #

To se lahko spremeni v:

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Ugotovimo, ali se zgornji izraz prevede nazaj v # x ^ 2 + bx #…

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

# = ({x + b / 2} + b / 2) ({x + b / 2} -b / 2) #

# = (x + 2 * b / 2) x #

# = x (x + b) #

# = x ^ 2 + bx #

Odgovor je DA.

Pomembno je omeniti to # x ^ 2-bx # (opazite znak minus) lahko pretvorite v:

# (x-b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Kaj počnete tukaj je dokončanje kvadrata. Veliko kvadratnih problemov lahko rešite tako, da izpolnite kvadrat.

Tukaj je en primarni primer te metode pri delu:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# ax ^ 2 + bx = -c #

# 1 / a * (ax ^ 2 + bx) = 1 / a * -c #

# x ^ 2 + b / a * x = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2- (b / (2a)) ^ 2 = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2-b ^ 2 / (4a ^ 2) = - c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) - (4ac) / (4a ^ 2) #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / sqrt (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

# x = -b / (2a) + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

#:. x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Slavno kvadratno formulo lahko izpeljemo dokončanje kvadrata.

Nova metoda preoblikovanja za reševanje kvadratnih enačb.

PRIMER 1. Reševanje tipa # x ^ 2 + bx + c = 0 #. Reševanje pomeni iskanje dveh števil, ki poznajo njihovo vsoto (# -b #) in njihovega izdelka (# c #). Nova metoda sestavlja faktorske pare (# c #) in istočasno uporablja pravilo znakov. Nato najde par, katerega vsota je enaka (# b #) ali (# -b #).

Primer 1. Rešiti # x ^ 2 - 11x - 102 = 0 #.

Rešitev. Sestavite parne faktorje #c = -102 #. Korenine imajo različne znake. Nadaljuj: #(-1, 102)(-2, 51)(-3, 34)(-6, 17).# Zadnji znesek # (- 6 + 17 = 11 = -b). Nato sta dve pravi koreni: #-6# in #17#. Brez faktoringa z združevanjem.

ZADEVA 2. Reševanje standardnega tipa: # ax ^ 2 + bx + c = 0 # (1).

Nova metoda pretvori to enačbo (1) v: # x ^ 2 + bx + a * c = 0 # (2).

Rešite enačbo (2), kot smo storili v PRIMERU 1, da dobimo 2 pravi koreni # y_1 # in # y_2 #. Naprej, delite # y_1 # in # y_2 # s koeficientom a, da dobimo 2 pravi koreni # x_1 # in # x_2 # izvirne enačbe (1).

Primer 2. Rešiti # 15x ^ 2 - 53x + 16 = 0 #. (1) # a * c = 15 (16) = 240.

Preoblikovana enačba: # x ^ 2 - 53 + 240 = 0 # (2). Reši enačbo (2). Oba korena sta pozitivna (pravilo znakov). Sestavite parne faktorje # a * c = 240 #. Nadaljuj: #(1, 240)(2, 120)(3, 80)(4, 60)(5, 48)#. Ta zadnja vsota je # (5 + 48 = 53 = -b) #. Nato sta dve pravi koreni: # y_1 = 5 # in

# y_2 = 48 #. Nazaj na izvirno enačbo (1) sta dve pravi koreni: # x_1 = y_1 / a = 5/15 = 1/3; # in # x_2 = y_2 / a = 48/15 = 16 / 5. # Brez faktoringa in reševanja binomalov.

Prednosti nove metode preoblikovanja so: preprosta, hitra, sistematična, brez ugibanja, brez faktoringa z združevanjem in brez reševanja binomalov.