Kaj je najhitrejša in najpreprostejša metoda za reševanje kubičnih in kvartnih enačb (brez polinomskega kalkulatorja)?

Odgovor:

Odvisno…

Pojasnilo:

Če ima kubični ali quartic (ali polinom poljubne stopnje za to zadevo) racionalne korenine, potem je teorem o racionalnih koreninah najhitrejši način, da jih najdemo.

Descartesovo pravilo znakov lahko pomaga tudi pri ugotavljanju, ali ima polinomska enačba pozitivne ali negativne korenine, zato pomagajte zožiti iskanje.

Za kubično enačbo je lahko koristno oceniti diskriminantno:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Če #Delta = 0 # potem ima kubični ponovljen koren.

• Če #Delta <0 # potem ima kubični en pravi koren in dve ne-resnični kompleksni koreni.

• Če #Delta> 0 # potem ima kubik tri prave korenine.

Če #Delta = 0 # potem je kubični delnik faktor s svojim derivatom, zato bi morali imeti možnost, da najdete njihov skupni faktor z izračunom polinoma GCF.

V nasprotnem primeru je koristno uporabiti Tschirnhausovo transformacijo za izpeljavo a depresivno kubično brez kvadrata pred nadaljevanjem.

Če ima kubični en pravi koren in dva ne-resnična, potem bi priporočil metodo Cardana.

Če ima tri resnične korenine, priporočam uporabo trigonometrične substitucije.

Za quartics lahko dobite depresivno quartic brez kocke izraz z zamenjavo kot #t = x + b / (4a) #.

Če tudi kvartik nima linearnega izraza, potem je kvadratni # x ^ 2 #. To lahko rešite kot kvadratno in vzamete kvadratne korenine ali uporabite faktorizacijo obrazca:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Iz tega lahko najdete kvadratične faktorje, ki jih želite rešiti.

Če ima dobljena kvartik linearni izraz, ga lahko faktoriziramo v obliki:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Izenačevalni koeficienti in uporaba # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, lahko izpelješ kubično v # a ^ 2 #. Zato lahko najdete možne vrednosti za # a #, # b # in # c #. Nato poiščite ničle kvadratnih faktorjev.

Obstajajo še drugi posebni primeri, ki pa to grobo zajemajo.