Kaj so korenine enotnosti? - Precalculus 2024

Koren enotnosti je kompleksno število, ki se ob dvigu na neko pozitivno celo število vrne 1.

To je vsako kompleksno število # z # ki izpolnjuje naslednjo enačbo:

# z ^ n = 1 #

kje #n v NN #, kar pomeni, da je n naravno število. Naravno število je katerokoli pozitivno celo število: (n = 1, 2, 3, …). To se včasih imenuje številka štetja in zapis za to # NN #.

Za vse # n #, lahko obstaja več # z # vrednosti, ki izpolnjujejo to enačbo, in te vrednosti sestavljajo korenine enotnosti za n.

Kdaj #n = 1 #

Korenine enotnosti: #1#

Kdaj #n = 2 #

Korenine enotnosti: #-1, 1#

Kdaj #n = 3 #

Korenine enotnosti = # 1, (1 + sqrt (3) i) / 2, (1 - sqrt (3) i) / 2 #

Kdaj #n = 4 #

Korenine enotnosti = # -1, i, 1, -i #

Kaj so vse možne racionalne korenine za enačbo 3x ^ {4} - 5x ^ {2} + 25 = 0?

Jih ni. Korenine so = + - 1.7078 + -1.4434, skoraj. Enačbo lahko reorganiziramo kot (x ^ 2–5 / 6) ^ 2 = - (5 / 6sqrt35) ^ 2 = i ^ 2 (5 / 6sqrt35) ^ 2, ki daje x ^ 2 = 5/6 (1) + -isqrt35). In tako, x = (5 (1/6 + -isqrt35 / 6)) ^ (1/2) = sqrt5cis ((k360 ^ o + -80,40 ^ o) / 2), k = 0, 1, z uporabo De Moivre izrek = sqrt5 (cos 40.203 ^ 0 + -i sin 40.203 ^ 0) in. sqrt5 (cos 220.203 ^ 0 + -i sin 220.203 ^ 0) = 1.7078 + -i1.4434 in -1.70755 + -i1.4434 = + - 1.7078 + -i1.4434

Če je vsota korenin kocke enote 0 Potem dokažite, da je produkt korenin kocke enotnosti = 1 Kdo?

"Glej pojasnilo" z ^ 3 - 1 = 0 "je enačba, ki daje korenine kocke" "enotnosti. Zato lahko uporabimo teorijo polinomov, da" "zaključimo, da" z_1 * z_2 * z_3 = 1 "(Newtonove identitete) ). " "Če ga res želite izračunati in preveriti:" z ^ 3 - 1 = (z - 1) (z ^ 2 + z + 1) = 0 => z = 1 "ALI" z ^ 2 + z + 1 = 0 => z = 1 "OR" z = (-1 pm sqrt (3) i) / 2 => (z_1) * (z_2) * (z_3) = 1 * ((- 1 + sqrt (3) i ) / 2) * (- 1-sqrt (3) i) / 2 = 1 * (1 + 3) / 4 = 1

Q.1 Če so alfa, beta korenine enačbe x ^ 2-2x + 3 = 0, dobimo enačbo, katere korenine so alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 in beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5?

Q.1 Če so alfa, beta korenine enačbe x ^ 2-2x + 3 = 0, dobimo enačbo, katere korenine so alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 in beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5? Odgovor na podano enačbo x ^ 2-2x + 3 = 0 => x = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i Naj alpha = 1 + sqrt2i in beta = 1-sqrt2i Zdaj naj gama = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 => gama = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 3 alfa -1 + 2alfa-1 => gama = (alfa-1) ^ 3 + alfa-1 + alpha => gama = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i => gama = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 In naj delta = beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 => delta = beta ^ 2 (beta-1) + beta + 5 => del