Enakokračni trikotnik ima strani A, B in C, katerih stranice so B in C enake dolžine. Če stran A preide iz (1, 4) v (5, 1) in območje trikotnika je 15, kakšne so možne koordinate tretjega vogala trikotnika?

Odgovor:

Obe vrsti tvorita osnovo dolžine 5, tako da mora biti višina 6, da se dobi območje 15. Noga je središče točk in šest enot v obeh pravokotnih smereh. # (33/5, 73/10)# ali #(- 3/5, - 23/10) #.

Pojasnilo:

Nasvet: Poskusite se držati konvencij majhnih črk za trikotne strani in kapitele za trikotne točke.

Dali smo dve točki in območje enakokrakega trikotnika. Dve točki tvorita osnovo, # b = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Noga # F # nadmorske višine je sredina obeh točk, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Smerni vektor med točkami je #(1-5, 4-1)=(-4,3)# z magnitudo 5, kot je bila izračunana. Dobimo smerni vektor pravokotnika tako, da zamenjamo točke in zavržemo eno izmed njih: #(3,4)# ki mora imeti tudi magnitudo pet.

Od tega območja # A = frac 1 2 b h = 15 # dobimo # h = (2 * 15) /b=6.

Zato se moramo premakniti #6# enot # F # v obeh pravokotnih smereh, da dobimo našo tretjo točko, ki sem jo klicala # C #:

# C = F 6 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) ali C = (- 3/5, - 23/10) #

Preverite: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Podpisano območje je nato polovica navzkrižnega izdelka

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

To je konec, vendar naj malo posplošimo odgovor. Pozabimo na to, da so enakokračni. Če imamo C (x, y), je območje podano po formuli za vezalke:

# A = frak 1 2 |. T (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Območje je #15#:

# 15 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # ali # -11 = 3x + 4y #

Torej, če je tocka C na kateri od teh dveh vzporednih linij, bomo imeli trikotnik na obmocju 15.

Let # PR = A # je stran enakokrakega trikotnika, ki ima koordinate njegovih končnih točk, kot sledi

#Pto (1,4) # in #Rto (5,1) #

Naj bodo koordinate tretje točke trikotnika # (x, y) #.

Kot # (x, y) # je enako oddaljena od P in R lahko pišemo

# (x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => x = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Ponovno # (x, y) # je enako oddaljena od P in R, pravokotnica je padla # (x, y) # do # PR # mora to prepoloviti, pustite to stopalo pravokotno ali sredinsko točko # PR # biti # T #

Torej koordinate #Tto (3,2,5) #

Zdaj višina enakokrakega trikotnika

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

In osnova enakokrakega trikotnika

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Torej s problemom svoje območje

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

S pomočjo 2 in 1 dobimo

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2 #

# => (y-2.5) ^ 2 = 4.8 ^ 2 #

# => y = 2.5pm4.8 #

Torej # y = 7,3 in y = -2,3 #

kdaj # y = 7.3 #

# x = (9 + 6xx7.3) /8=6.6

kdaj # y = -2,3 #

# x = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6 #

Torej bodo koordinate tretje točke

# (6.6,7.3) do "Q na sliki" #

ALI

# (- 0,6, -2,3) za "S na sliki" #