Dovolimo, da sta K in L dva različna podprostorska realna vektorska prostora V. Če je dim (K) = dim (L) = 4, kako je mogoče določiti minimalne dimenzije za V?

Odgovor:

5

Pojasnilo:

Pustite štiri vektorje # k_1, k_2, k_3 # in # k_4 # tvorijo osnovo vektorskega prostora # K #. Od # K # je podprostor # V #Ti štirje vektorji tvorijo linearno neodvisen set # V #. Od # L # je podprostor # V # drugačen od # K #, mora biti vsaj en element, recimo # l_1 # v # L #, ki ni v # K #t.j., ki ni linearna kombinacija # k_1, k_2, k_3 # in # k_4 #.

Torej, set # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # je linearni neodvisni niz vektorjev v # V #. Tako dimenzionalnost # V # je vsaj 5!

Dejstvo je, da je mogoče za razpon od # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # biti ves vektorski prostor # V # - tako, da mora biti minimalno število baznih vektorjev 5.

Samo kot primer # V # biti # RR ^ 5 # in pustite # K # in # V # sestavljajo vektorji obrazcev

# ((alfa), (beta), (gama), (delta), (0)) # in # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

To je enostavno videti, da vektorji

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#in #((0),(0),(0),(0),(0))#

podlaga # K #. Dodaj vektor #((0),(0),(0),(0),(0))#, in dobili boste osnovo za ves vektorski prostor,