Akord z dolžino 12 poteka od pi / 12 do pi / 6 radiana na krogu. Kakšno je območje kroga?

Odgovor:

Območje kroga je

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Pojasnilo:

Zgornja slika odraža pogoje, postavljene v problemu. Vsi koti (povečani za boljše razumevanje) so v radianih, ki štejejo od horizontalne X-osi # OX # v nasprotni smeri urinega kazalca.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Najti moramo polmer kroga, da določimo njegovo območje.

Poznamo ta akord # AB # ima dolžino #12# in kot med polmeri # OA # in # OB # (kje # O # je središče kroga)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Zgradite višino # OH # trikotnika #Delta AOB # iz vrha # O # na stran # AB #. Od #Delta AOB # je enakokračno, # OH # je mediana in simetrala kota:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Razmislite o pravokotnem trikotniku #Delta AOH #.

Poznamo ta kathetus # AH = 6 # in kotom # / _ AOH = pi / 24 #.

Zato hipotenuza # OA #, ki je polmer našega kroga # r #, enako

# r = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Ker poznamo polmer, lahko najdemo območje:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Izrazimo to brez trigonometričnih funkcij.

Od

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

območje lahko izrazimo na naslednji način:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Druga trigonometrična identiteta:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Zato,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Sedaj lahko predstavljamo območje kroga kot

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Odgovor:

Drugi pristop je enak rezultat

Pojasnilo:

Akord AB dolžine 12 v zgornji sliki teče od# pi / 12 # do # pi / 6 # v krogu polmera r in središče O, vzeto kot izvor.

# / _ AOX = pi / 12 # in # / _ BOX = pi / 6 #

Torej polarna koordinata A # = (r, pi / 12) # in B # = (r, pi / 6) #

Uporaba formule razdalje za polarne koordinate

dolžina tetive AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = prekliči144 ^ 72 / (preklic2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Torej območje kroga

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #