Trikotnik A ima območje 60 in dve strani dolžine 12 in 15. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima dolžino 9. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Odgovor:

Največja površina 33.75 in Minimalno območje 21.6

Pojasnilo:

#Delta s A in B # podobne.

Da bi dobili največjo površino #Delta B #, stran 25 od #Delta B # mora ustrezati strani 12. t #Delta A #.

Strani sta v razmerju 9: 12

Zato bodo območja v razmerju #9^2: 12^2 = 81: 144#

Največja površina trikotnika #B = (60 * 81) / 144 = 33,75 #

Podobno, da dobite najmanjšo površino, stran 15 od #Delta A # bo ustrezala strani 9 #Delta B #.

Strani sta v razmerju # 9: 15# in območja #81: 225#

Najmanjša površina #Delta B = (60 * 81) / 225 = 21,6 #

Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžine 4 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 7. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Možna je tretja stran okrog 11,7 v trikotniku A. Če bi se to spremenilo na sedem, bi dobili minimalno površino 735 / (97 + 12 sqrt (11)). Če se dolžina strani 4 prilagodi na 7, dobimo največjo površino 735/16. To je morda težji problem, kot se zdi prvič. Ali kdo ve, kako najti tretjo stran, ki jo potrebujemo za ta problem? Običajni trigonomski prehodi običajno narekujejo izračunavanje kotov, s čimer dosežemo približek, kjer ni potreben noben. V šoli se pravzaprav ne poučuje, vendar je najlažji način Arhimedova teorema, sodobna oblika Heronove teoreme. Pokličimo A-jevo območje A in ga povežemo z A-stranmi a, b in c. 16A ^ 2

Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžine 4 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 12. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

135 in ~ 15,8. Preprosta stvar v tem problemu je, da ne vemo, katera od drevesnih strani prvotnega trikotnika ustreza dolžini 12 v podobnem trikotniku. Vemo, da se lahko površina trikotnika izračuna iz Heronove formule A = sqrt {s (sa) (sb) (sx)} Za naš trikotnik imamo a = 4 in b = 9 in s = {13 + c} / 2, sa = {5 + c} / 2, sb = {c-5} / 2 in sc = {13-c} / 2. Tako 15 ^ 2 = {13 + c} / 2 xx {5 + c} / 2 xx {c-5} / 2 xx {13-c} / 2 To vodi do kvadratne enačbe v c ^ 2: c ^ 4 - 194 c ^ 2 + 7825 = 0, ki vodi do c ~ ~ 11,7 ali c ~ ~ 7,5 Tako je največja in najmanjša možna vrednost za strani našega prvotnega trikotnika 11,7 oziroma 4.

Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžine 5 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 12. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Največja možna površina trikotnika A = barva (zelena) (128.4949) Najmanjša možna površina trikotnika B = barva (rdeča) (11.1795) Delta s A in B sta podobni. Da bi dobili maksimalno območje Delta B, mora stran 12 Delta B ustrezati strani (> 9 - 5) Delta A reči (rdeča) (4.1), ker mora biti vsota dveh strani večja od tretje strani trikotnika. (korigirana na eno decimalno mesto) Strani so v razmerju 12: 4.1 Zato bodo območja v razmerju 12 ^ 2: (4.1) ^ 2 Največja površina trikotnika B = 15 * (12 / 4.1) ^ 2 = barva (zelena) (128.4949) Podobno kot za najmanjšo površino bo stran 12 Delta B ustrezala strani <9 + 5) Delta A. P