Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžine 5 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 12. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Odgovor:

Največja možna površina trikotnika A = #barva (zelena) (128.4949) #

Najmanjša možna površina trikotnika B = #color (rdeča) (11.1795) #

Pojasnilo:

#Delta s A in B # podobne.

Da bi dobili največjo površino #Delta B #, stran 12 od #Delta B # mora ustrezati strani #(>9 - 5)# od #Delta A # reči #color (rdeča) (4.1) # kot vsota dveh strani mora biti večja od tretje strani trikotnika (popravljena na eno decimalko)

Strani sta v razmerju 12: 4.1

Zato bodo območja v razmerju #12^2: (4.1)^2#

Največja površina trikotnika #B = 15 * (12 / 4.1) ^ 2 = barva (zelena) (128.4949) #

Podobno, da dobite najmanjšo površino, stran 12 od #Delta B # ustreza strani #<9 + 5)# od #Delta A #. Reci #barva (zelena) (13.9) # kot vsota dveh strani mora biti večja od tretje strani trikotnika (popravljena na eno decimalko)

Strani sta v razmerju # 12: 13.9# in območja #12^2: 13.9^2#

Najmanjša površina #Delta B = 15 * (12 / 13.9) ^ 2 = barva (rdeča) (11.1795) #

Odgovor:

Največja površina # triangle_B = 60 # kvadratnih enot

Minimalna površina #triangle_B ~~ 13.6 # kvadratnih enot

Pojasnilo:

Če # triangle_A # ima dve strani # a = 7 # in # b = 8 # in območje # "Območje" _A = 15 #

potem dolžina tretje strani # c # lahko (z manipulacijo Heronove formule) izpeljemo kot:

#barva (bela) ("XXX") c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + -2sqrt (^ 2b ^ 2-4 "območje" _A) #

Z uporabo kalkulatorja najdemo dve možni vrednosti za # c #

# c ~~ 9.65barva (bela) ("xxx) alibarva (bela) (" xxx ") c ~~ 14.70 #

Če sta dva trikotnika # triangle_A # in # triangle_B # so podobne, potem se njihova površina spreminja glede na kvadrat ustreznih dolžin strani:

To je

#barva (bela) ("XXX") "Območje" _B = "Območje" _A * (("stran" _B) / ("stran" _A)) ^ 2 #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Glede na # "Območje" _A = 15 # in # "side" _B = 14 #

potem # "Območje" _B # bo a največ ko je razmerje # ("side" _B) / ("side" _A) # je največ;

to je čas # "side" _B # ustreza minimalno možna ustrezna vrednost za # side_A #namreč #7#

# "Območje" _B # bo a največ #15 * (14/7)^2=60#

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Glede na # "Območje" _A = 15 # in # "side" _B = 14 #

potem # "Območje" _B # bo a minimalno ko je razmerje # ("side" _B) / ("side" _A) # je minimalno;

to je čas # "side" _B # ustreza največ možna ustrezna vrednost za # side_A #namreč #14.70# (na podlagi naše prejšnje analize)

# "Območje" _B # bo a minimalno #15 * (14/14.7)^2~~13.60#

Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžine 4 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 7. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Možna je tretja stran okrog 11,7 v trikotniku A. Če bi se to spremenilo na sedem, bi dobili minimalno površino 735 / (97 + 12 sqrt (11)). Če se dolžina strani 4 prilagodi na 7, dobimo največjo površino 735/16. To je morda težji problem, kot se zdi prvič. Ali kdo ve, kako najti tretjo stran, ki jo potrebujemo za ta problem? Običajni trigonomski prehodi običajno narekujejo izračunavanje kotov, s čimer dosežemo približek, kjer ni potreben noben. V šoli se pravzaprav ne poučuje, vendar je najlažji način Arhimedova teorema, sodobna oblika Heronove teoreme. Pokličimo A-jevo območje A in ga povežemo z A-stranmi a, b in c. 16A ^ 2

Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžine 4 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 12. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

135 in ~ 15,8. Preprosta stvar v tem problemu je, da ne vemo, katera od drevesnih strani prvotnega trikotnika ustreza dolžini 12 v podobnem trikotniku. Vemo, da se lahko površina trikotnika izračuna iz Heronove formule A = sqrt {s (sa) (sb) (sx)} Za naš trikotnik imamo a = 4 in b = 9 in s = {13 + c} / 2, sa = {5 + c} / 2, sb = {c-5} / 2 in sc = {13-c} / 2. Tako 15 ^ 2 = {13 + c} / 2 xx {5 + c} / 2 xx {c-5} / 2 xx {13-c} / 2 To vodi do kvadratne enačbe v c ^ 2: c ^ 4 - 194 c ^ 2 + 7825 = 0, ki vodi do c ~ ~ 11,7 ali c ~ ~ 7,5 Tako je največja in najmanjša možna vrednost za strani našega prvotnega trikotnika 11,7 oziroma 4.

Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžine 6 in 7. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 16. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Max = 106.67squnit andmin = 78.37squnit Območje 1. trikotnika, A Delta_A = 15 in dolžina njegovih stranic je 7 in 6 Dolžina ene strani 2. trikotnika je = 16 pusti območje 2. trikotnika, B = Delta_B bomo uporabili razmerje: Razmerje med področji podobnih trikotnikov je enako razmerju kvadratov njihovih ustreznih strani. Možnost -1, ko je stran dolžine 16 B ustrezna stran dolžine 6 trikotnika A, potem Delta_B / Delta_A = 16 ^ 2/6 ^ 2 Delta_B = 16 ^ 2/6 ^ 2xx15 = 106.67squnit Maksimalna možnost -2, ko je stran dolžine 16 B je ustrezna stran dolžine 7 trikotnika A, nato Delta_B / Delta_A = 16 ^ 2/7 ^ 2 Delta_B = 16 ^ 2/7 ^ 2xx