Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžine 4 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 7. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Odgovor:

Možna je tretja stran okoli #11.7# v trikotniku A. Če bi se to zmanjšalo na sedem, bi dobili minimalno površino # 735 / (97 + 12 sqrt (11)) #.

Če je stranska dolžina #4# Prilagojeno #7# dobili bi največjo površino #735/16.#

Pojasnilo:

To je morda težji problem, kot se zdi prvič. Ali kdo ve, kako najti tretjo stran, ki jo potrebujemo za ta problem? Običajni trigonomski prehodi običajno narekujejo izračunavanje kotov, s čimer dosežemo približek, kjer ni potreben noben.

V šoli se pravzaprav ne poučuje, vendar je najlažji način Arhimedova teorema, sodobna oblika Heronove teoreme. Pokličimo območje A # A # in ga povežite z A stranmi # a, b # in # c. #

# 16A ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

# c # pojavlja se samo enkrat, tako da je to naše neznano. Rešimo za to.

# (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - 16 A ^ 2 #

# c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 pm sqrt {4 a ^ 2 b ^ 2 - 16A ^ 2} #

Imamo # A = 15, a = 4, b = 9. #

# c ^ 2 = 4 ^ 2 + 9 ^ 2 pm sqrt {4 (4 ^ 2) (9 ^ 2) - 16 (15) ^ 2} = 97 pm sqrt {1584} #

#c = sqrt {97 pm 12 sqrt {11}} #

#c približno 11.696 ali7.563 #

To sta dve različni vrednosti za # c #, od katerih bi vsak moral tvoriti trikotnik območja #15#. Znak plus za nas je zanimiv, ker je večji od drugih dveh strani.

Za maksimalno območje, maksimalno skaliranje, to pomeni, da najmanjše stranske lestvice #7#, za faktor lestvice. t #7/4# tako novo območje (ki je sorazmerno s kvadratom faktorja lestvice) od #(7/4)^2(15) = 735/16#

Za minimalno površino največjo stransko lestvico #7# za novo območje

# 15 (7 / (sqrt {97 + 12 sqrt {11}})) ^ 2 = 735 / (97 + 12 sqrt (11)) #