Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžine 4 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 12. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Odgovor:

135 in #~~15.8#v tem zaporedju.

Pojasnilo:

Preprosta stvar v tem problemu je, da ne vemo, katera od drevesnih strani prvotnega trikotnika ustreza dolžini 12 v podobnem trikotniku.

Vemo, da se lahko površina trikotnika izračuna iz Heronove formule

#A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-x)} #

Za naš trikotnik imamo # a = 4 # in # b = 9 # in tako # s = {13 + c} / 2 #, # s-a = {5 + c} / 2 #, # s-b = {c-5} / 2 # in # s-c = {13-c} / 2 #. Tako

# 15 ^ 2 = {13 + c} / 2 xx {5 + c} / 2 xx {c-5} / 2 xx {13-c} / 2 #

To vodi do kvadratne enačbe v # c ^ 2 #:

# c ^ 4 - 194 c ^ 2 + 7825 = 0 #

kar vodi do bodisi #c ~~ 11.7 # ali #c ~~ 7,5 #

Največja in najmanjša možna vrednost za strani našega prvotnega trikotnika je 11,7 oziroma 4. Tako sta največja in najmanjša možna vrednost faktorja skaliranja #12/4=3# in #12/11.7~~ 1.03#. Ker je območje lestvice kot kvadratne dolžine, so največje in najmanjše možne vrednosti območja podobnega trikotnika # 15 xx 3 ^ 2 = 135 # in # 15 xx 1.03 ^ 2 ~~ 15.8 #v tem zaporedju.