Dva satelita P_ "1" in P_ "2" se vrtita v orbitih radija R in 4R. Razmerje med maksimalno in najmanjšo kotno hitrostjo črte, ki povezuje P_ "1" in P_ "2", je ??

Odgovor:

#-9/5#

Pojasnilo:

V skladu s tretjim zakonom Keplerja, # T ^ 2 propto R ^ 3 pomeni omega propto R ^ {- 3/2} #, če je kotna hitrost zunanjega satelita # omega #, notranjega #omega krat (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Poglejmo # t = 0 # biti trenutek, ko sta oba satelita kolinearna z maternim planetom, in vzemimo to skupno linijo kot # X # osi. Nato koordinate dveh planetov v času # t # so # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # in # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #v tem zaporedju.

Let # theta # je kot, ki ga poveže črta, ki povezuje oba satelita # X # osi. To je enostavno videti

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Diferenciacija donosov

# sek ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2-krat #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega c (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) #

Tako

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t) t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) pomeni #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) pomeni #

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) equiv 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Kjer je funkcija

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

ima derivat

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

in se zato v intervalu monotono zmanjšuje #-1,1#.

Tako je kotna hitrost # (d theta) / dt # je največja, ko #cos (7 omega t) # je minimalna in obratno.

Torej, # ((the the)) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3-krat (-1)) / (17-8-krat (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 krat omega 5/25 = 12/5 omega #

# ((the the)) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 krat 1) / (17-8 krat 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 krat omega (-1) / 9 = -4/3 omega #

in tako je razmerje med obema:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Opomba Dejstvo, da je # (d theta) / dt # znak spremembe je vzrok za tako imenovano navidezno retrogradno gibanje