Kaj je ortocenter trikotnika s koti (9, 7), (4, 4) in (8, 6) #?

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Poklicali bomo tocke # A = (4,4) #, # B = (9,7) # in # C = (8,6) #.

Poiskati moramo dve enačbi, ki sta pravokotni na dve strani in skozi dve vrsti. Ugotovimo lahko naklon dveh stranic in posledično naklon obeh pravokotnih linij.

Nagib AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Nagib pravokotno na to:

#-5/3#

To mora potekati skozi tocko C, tako da je enacba vrstice:

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Nagib BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Nagib pravokotno na to:

#-1#

To mora potekati skozi točko A, tako da je enačba vrstice:

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

Kjer se 1 in 2 križata, je ortocenter.

Reševanje 1 in 2 hkrati:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Uporaba 2:

# y = -17 + 8 = -9 #

Orthocenter:

#(17, -9)#

Ker je trikotnik nejasen, je ortocenter zunaj trikotnika. to se lahko vidi, če podaljšate višinske črte, dokler ne prečkajo.

Odgovor:

Orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

Obod

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Pojasnilo:

Orthocenter

Glede na # p_1, p_2, p_3 # in

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # tako, da

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Ti vektorji se zlahka dobijo, na primer

# p_1 = (x_1, y_1) # in # p_2 = (x_2, y_2) # in potem

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Zdaj imamo

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Te tri črte se sekajo v ortocentru trikotnika

Izbira # L_1, L_2 # imamo

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # ali

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

da enačbe

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Zdaj se rešuje # lambda_1, lambda_2 # imamo

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

in potem

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

Obod

Enačba oboda je podana z

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

zdaj, če # {p_1, p_2, p_3} v C # imamo

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

odštejemo prvo od drugega

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

odštejemo prvo od tretjega

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

dajanje sistema enačb

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Zdaj nadomeščamo dane vrednosti, ki jih dobimo

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Priložite graf, ki prikazuje ortocenter (rdeč) in obodni center (modra).