Odgovor:
To je točno eden od korenin #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # kje #T_n (x) # ali je # n #Chebyshev Polinom prve vrste. To je eden od štiridesetih šestih korenin:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x 18 - 14613311324160 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Pojasnilo:
# 58 ^ circ # ni večkratnik # 3 ^ circ #. Večkratnik # 1 ^ circ # ki niso večkratniki # 3 ^ circ # ne moremo konstruirati z ravnilom in kompasom, njihove trigonomske funkcije pa niso rezultat neke sestave celih števil z uporabo seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja in kvadriranja.
To ne pomeni, da ne moremo zapisati izraza za #cos 58 ^ circ #. Vzemimo znak za stopnjo, ki pomeni faktor # {2pi} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i t
#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i t
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
Ni tako koristno.
Lahko poskusimo zapisati polinomsko enačbo, katere je ena od korenin #cos 58 ^ circ # toda verjetno bo prevelika, da bi ustrezala.
# theta = 2 ^ circ # je #180#kroga. Od #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # to pomeni #cos 2 ^ circ # izpolnjuje
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #
Rešimo to za # theta # prvi. #cos x = cos a # ima korenine # x = pm a + 360 ^ krog k, # celo število # k #.
# 180 ^ Circ -46 theta = 44 pm theta - 360 ^ circ k #
# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
#theta = 2 ^ circ + 4 ^ kroga k ali theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
To je veliko korenin in vidimo # theta = 58 ^ circ # med njimi.
Polinomi #T_n (x) #, ki se imenuje Chebyshev polinomi prve vrste, izpolnjujejo #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Imajo celo število koeficientov. Prvih nekaj poznamo iz dvojnih in trojnih formul:
#cos (0 theta) = 1 quad quad # tako# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # tako# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # tako # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # tako # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Obstaja lepa relacija rekurzije, ki jo lahko preverimo:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Torej jih lahko v teoriji ustvarimo za tako velike # n # kakor nam je všeč.
Če pustimo # x = cos theta, # našo enačbo
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
postane
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha nam z veseljem pove, kaj je to. Napisal bom enačbo samo za testiranje matematičnega upodabljanja:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x 18 - 14613311324160 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Da, ta odgovor je dolg, hvala Sokratu. Anway, eden od korenin polinoma 46. stopnje s celoštevilskimi koeficienti je cos 58 ^ circ #.
