Odgovor:
Tukaj ste že odgovorili.
Pojasnilo:
Najprej morate najti # sin18 ^ @ #, za katere so podrobnosti na voljo tukaj.
Potem lahko dobite # cos36 ^ @ # kot je prikazano tukaj.
Odgovor:
Rešujemo #cos (2 theta) = cos (3 theta) # ali # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # za # x = cos 144 ^ circ # in dobite #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}).
Pojasnilo:
Dobimo #cos 36 ^ circ # rahlo posredno iz dvojne in trojne kotne formule za kosinus. To je precej kul, kako se to naredi, in se presenetljivo konča.
Osredotočili se bomo #cos 72 ^ circ #. Kot # theta = 72 ^ circ # izpolnjuje
#cos (2 theta) = cos (3 theta).
Rešimo to za # theta #, spominja #cos x = cos a # ima rešitve #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # ali # -tta = 360 ^ kroga k #
#theta = 72 ^ kroga k #
To vključuje tudi # 360 ^ krog k # tako da lahko spustimo "ali" del.
Tu ne pišem skrivnosti (kljub presenečenju, ki se konča), zato bom to omenil #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # je tudi veljavna rešitev in vidimo, kako je povezana z vprašanjem.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Zdaj pa pustite # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3 x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Vemo # x = cos (0: 72 ^ circ) = 1 # je rešitev # (x-1) # je dejavnik:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Kvadratno ima korenine
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Pozitivna mora biti #cos 72 ^ circ # in negativno #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
To je odgovor. Presenečenje je, da je polovica Zlatega razmerja!
