Kakšna je domena definicije y = log_10 (1- log_10 (x ^ 2 -5x +16))?

Odgovor:

Domena je interval #(2, 3)#

Pojasnilo:

Glede na:

#y = log_10 (1-log_10 (x ^ 2-5x + 16)) #

Predpostavimo, da se s tem ukvarjamo kot z resnično vrednostno funkcijo realnih števil.

Potem pa # log_10 (t) # je dobro opredeljen, če in samo če #t> 0 #

Upoštevajte, da:

# x ^ 2-5x + 16 = (x-5/2) ^ 2 + 39/4> 0 #

za vse realne vrednosti. t # x #

Torej:

# log_10 (x ^ 2-5x + 16) #

je dobro opredeljena za vse realne vrednosti. t # x #.

Z namenom, da # log_10 (1-log_10 (x ^ 2-5x + 16)) # treba opredeliti, je potrebno in zadostno, da: t

# 1 - log_10 (x ^ 2-5x + 16)> 0 #

Zato:

# log_10 (x ^ 2-5x + 16) <1 #

Ob eksponentih obeh strani (monotono naraščajoča funkcija) dobimo:

# x ^ 2-5x + 16 <10 #

To je:

# x ^ 2-5x + 6 <0 #

kateri dejavniki so:

# (x-2) (x-3) <0 #

Leva stran je #0# kdaj # x = 2 # ali # x = 3 # in negativno med.

Torej je domena #(2, 3)#

Kako s pomočjo definicije konvergence dokažemo, da zaporedje {5+ (1 / n)} konvergira od n = 1 do neskončnosti?

Naj bo: a_n = 5 + 1 / n, potem za vsak m, n v NN z n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) pri n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n in kot 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Glede na katero koli realno število epsilon> 0, izberite potem celo število N> 1 / epsilon. Za vsa cela števila m, n> N imamo: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, ki dokazuje Cauchyjev pogoj za konvergenco zaporedja.

Kako s pomočjo definicije konvergence dokažemo, da zaporedje {2 ^ -n} konvergira od n = 1 do neskončnosti?

Uporabite lastnosti eksponentne funkcije za določitev N, kot je | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon za vsak m, n> N Opredelitev konvergence navaja, da {a_n} konvergira, če: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Torej, glede na epsilon> 0 vzemite N> log_2 (1 / epsilon) in m, n> N z m <n Kot m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (mn)) Zdaj kot 2 ^ x je vedno pozitiven, (1 - 2 ^ (mn)) <1, tako da 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) in kot 2 ^ (- x) je strogo padajoč

Če je f (x) = 3x ^ 2 in g (x) = (x-9) / (x + 1), in x! = - 1, kaj bi bil f (g (x)) enak? g (f (x))? f ^ -1 (x)? Kakšna bi bila domena, obseg in ničle za f (x)? Kakšna bi bila domena, obseg in ničle za g (x)?

F (g (x)) = 3 ((x-9) / (x + 1)) ^ 2 g (f (x)) = (3x ^ 2-9) / (3x ^ 2 + 1) f ^ - 1 (x) = root () (x / 3) D_f = {x v RR}, R_f = {f (x) v RR; f (x)> = 0} D_g = {x v RR; x! = - 1}, R_g = {g (x) v RR; g (x)! = 1}