Kako s pomočjo definicije konvergence dokažemo, da zaporedje {5+ (1 / n)} konvergira od n = 1 do neskončnosti?

Naj:

#a_n = 5 + 1 / n #

potem za vse # m, n v NN # z #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

kot #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

in kot # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Glede na realno število #epsilon> 0 #, nato izberite celo število #N> 1 / epsilon #.

Za poljubna cela števila # m, n> N # imamo:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

kar dokazuje Cauchyjev pogoj za konvergenco zaporedja.