Kako s pomočjo definicije konvergence dokažemo, da zaporedje {2 ^ -n} konvergira od n = 1 do neskončnosti?

$Kako s pomočjo definicije konvergence dokažemo, da zaporedje {2 ^ -n} konvergira od n = 1 do neskončnosti?$

Odgovor:

Za določitev N uporabite lastnosti eksponentne funkcije # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # za vsakega # m, n> N #

Pojasnilo:

Opredelitev konvergence navaja, da # {a_n} # konvergira, če:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Torej, glede #epsilon> 0 # vzemite #N> log_2 (1 / epsilon) # in # m, n> N # z #m <n #

Kot #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # tako # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Zdaj kot # 2 ^ x # je vedno pozitiven, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, Torej

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

In kot # 2 ^ (- x) # se strogo zmanjšuje in. t #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Toda:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Torej:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.

Kako s pomočjo definicije konvergence dokažemo, da zaporedje {5+ (1 / n)} konvergira od n = 1 do neskončnosti?

Naj bo: a_n = 5 + 1 / n, potem za vsak m, n v NN z n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) pri n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n in kot 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Glede na katero koli realno število epsilon> 0, izberite potem celo število N> 1 / epsilon. Za vsa cela števila m, n> N imamo: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, ki dokazuje Cauchyjev pogoj za konvergenco zaporedja.

Kako s pomočjo definicije konvergence dokažemo, da zaporedje lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 konvergira?

Glede na poljubno število epsilon> 0 izberite M> 1 / sqrt (6epsilon), z M v NN. Nato za n> = M imamo: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon in tako: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon, ki dokazuje mejo.

Recimo, da je a_n monotono in konvergira in b_n = (a_n) ^ 2. Ali b_n nujno konvergira?

Da. Naj bo l = lim_ (n -> + oo) a_n. a_n je monotonen, tako da bo b_n tudi monotono, in lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2. To je kot pri funkcijah: če sta f in g končna meja pri a, potem bo izdelek f.g imel mejo pri a.