Kaj je derivat f (x) = sec ^ -1 (x)?

# d / dx sek ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Postopek:

Najprej bomo lažje obravnavali enačbo. Vzemite sekance obeh strani:

#y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

Naprej, ponovno napišite v smislu # cos #:

# 1 / cos y = x #

In rešiti za # y #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = udobno #

#y = arccos (1 / x) #

Zdaj je to veliko lažje razlikovati. To vemo

# d / dx arccos (alpha) = -1 / (sqrt (1-alfa ^ 2)) #

zato lahko uporabimo to identiteto in verigo:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Nekaj poenostavitve:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Nekaj več poenostavitve:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Da bo enačba malo lepša, bom premaknila # x ^ 2 # znotraj radikala:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Nekaj končnega zmanjšanja:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

In tu je naš derivat.

Pri razlikovanju inverznih trigonomskih funkcij je ključno, da jih dobimo v obliki, s katero se enostavno ukvarjamo. Bolj kot karkoli, so vadba v vašem poznavanju trigonomskih identitet in algebraične manipulacije.