To je trigonometrični dokaz posplošenega primera, vprašanje je v polju s podrobnostmi?

Odgovor:

Dokaz z indukcijo je spodaj.

Pojasnilo:

Dokažimo to identiteto z indukcijo.

A. Za # n = 1 # to moramo preveriti

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1

Dejansko z uporabo identitete #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1, to vidimo

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

iz tega sledi

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1

Torej, za # n = 1 # naša identiteta je resnična.

B. Predpostavimo, da je identiteta resnična # n #

Torej predpostavljamo

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j v 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(simbol # Pi # se uporablja za izdelek)

C. Z uporabo predpostavke B zgoraj dokazujemo identiteto za # n + 1 #

Dokazati moramo, da iz predpostavke B sledi

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j v 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(opazite, da je desna meja za indeks množenja # n # zdaj).

DOKAZ

Uporaba identitete #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 za # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Razdeli začetni in končni izraz s # 2cos (theta) +1 #, pridobivanje

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Zdaj uporabljamo predpostavko B

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j v 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j v 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(obvestilo je zdaj razširjeno na obseg indeksa. t # n #).

Zadnja formula je popolnoma enaka # n + 1 # za original # n #. To dokončanje dokaže z indukcijo, da je naša formula resnična za vse # n #.

Odgovor:

Glej poglavje Dokazilo v razlagi spodaj.

Pojasnilo:

To je enako dokazu, da

# (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "The L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S." #

Uživajte v matematiki!