Kakšna je dolžina loka f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) na x v [0, (pi) / 4]?

Odgovor:

# pi / 4 #

Pojasnilo:

Dolžina loka #f (x) #, #x v a.b # daje:

# S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx #

#f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 #

#f '(x) = 0 #

Odkar imamo # y = 0 # lahko vzamemo samo dolžino ravne črte med # 0 do pi / 4 # kateri je # pi / 4-0 = pi / 4 #

Kaj so prvi trije derivati (xcos (x) -sin (x)) / (x ^ 2)?

Odgovor je: y '' = (- x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. Zato: y '= (((cosx + x * (- sinx) -cosx) x ^ 2- (xcosx-sinx) * 2x)) / x ^ 4 = = (- x ^ 3sinx-2x ^ 2cosx + 2xsinx) / x ^ 4 = = (- x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) / x ^ 3 y '' = ((- 2xsinx-x ^ 2cosx-2cosx-2x (-sinx) + 2cosx) x ^ 3- ( -x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) * 3x ^ 2) / x ^ 6 = = ((- x ^ 2cosx) x ^ 3 + 3x ^ 4sinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2sinx) / x ^ 6 = = ( -x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4.

Kaj je domena in obseg za y = xcos ^ -1 [x]?

Območje: [- pi, 0.56109634], skoraj. Domena: {- 1, 1]. arccos x = y / x v [0, pi] rArr polarna theta v [0, arctan pi] in [pi + arctan pi, 3 / 2pi] y '= arccos x - x / sqrt (1 - x ^ 2) = 0, pri x = X = 0,65, skoraj iz grafa. y '' <0, x> 0. Torej, max y = X arccos X = 0.56, skoraj opomnimo, da je terminal na osi x [0, 1]. In obratno, x = cos (y / x) v [-1, 1] Na spodnjem terminalu, v Q_3, x = - 1 in min y = (- 1) arccos (- 1) = - pi. Graf za y = x arccos x # graph {yx arccos x = 0} Grafi za x, ki y '= 0: Graf y', ki odkriva koren blizu 0,65: graf {y-arccos x + x / sqrt (1-x ^ 2) ) = 0 [0 1 -0.1 0.1]

Kako rešiti brez l'Hospital pravil? lim_ (x-> 0) (xcos ^ 2 (x)) / (x + tan (3x))

1/4 "Lahko uporabite razširitev serije Taylor." cos (x) = 1 - x ^ 2/2! + x ^ 4/4! - ... tan (x) = x + x ^ 3/3 + 2 x ^ 5/15 + ... => cos ^ 2 (x) = 1 - x ^ 2 + x ^ 4 (1/4 + 2/24) ... = 1 - x ^ 2 + x ^ 4/3 ... => tan (3x) = 3x + 9 x ^ 3 + ... => (x * cos ^ 2 (x) ) / (x + tan (3x)) = (x - x ^ 3 + x ^ 5/3 ...) / (4x + 9 x ^ 3 + ...) x-> 0 => "višje sile izginejo "= (x - ...) / (4x + ...) = 1/4