Kaj so kompleksne številke? Hvala.

Kompleksne številke so številke obrazca # a + bi # kje # a # in # b # so realna števila in #jaz# je opredeljen kot # i = sqrt (-1) #.

(Zgoraj je osnovna definicija kompleksnih številk. Več o njih preberite.)

Podobno kot označujemo množico realnih števil kot # RR #, označujemo množico kompleksnih števil kot # CC #. Upoštevajte, da so vsa realna števila tudi kompleksna števila, kot vsako realno število # x # lahko zapišemo kot # x + 0i #.

Glede na kompleksno število # z = a + bi #, pravimo tako # a # ali je pravi del kompleksnega števila (označeno # "Re" (z) #) in # b # ali je imaginarni del kompleksnega števila (označeno # "Im" (z) #).

Opravljanje operacij s kompleksnimi številkami je podobno opravljanju operacij na binomih. Dve kompleksni številki # z_1 = a_1 + b_1i # in # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (spomnite se # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Za delitev smo uporabili dejstvo, da # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Glede na kompleksno število # z = a + bi # mi kličemo # a-bi # kompleksni konjugat od # z # in ga označimo #bar (z) # To je uporabna lastnost (kot je prikazano zgoraj), ki #zbar (z) # je vedno pravo število.

Kompleksna števila imajo veliko uporabnih aplikacij in atributov, toda pogosto se zgodaj pojavljajo v uporabi v polinomih faktoringa. Če se omejimo na samo realna števila, je polinom, kot je # x ^ 2 + 1 # ne moremo nadalje upoštevati, če pa dovolimo kompleksna števila, potem imamo # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

V bistvu, če dovolimo zapletena števila, potem kaj polinom enojne spremenljivke stopnje # n # lahko zapišemo kot produkt # n # linearnih dejavnikov (po možnosti z enimi). Ta rezultat je znan kot temeljni izrek algebre, in, kot že ime pove, je zelo pomembno za algebre in ima široko uporabo.