Kako najdem integralni intarktan (4x) dx?

Odgovor:

# I = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C #

# = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | (1 + 16x ^ 2) | + C #

Pojasnilo:

# (1) I = inttan ^ -1 (4x) dx #

Pusti, # tan ^ -1 (4x) = urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udu ## rArrdx = 1 / 4sec ^ 2udu #

# I = intu * 1 / 4sec ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu #

Druga metoda:

# (2) I = int1 * tan ^ -1 (4x) dx ## = tan ^ -1 (4x) * x-int (1 / (1 + 16x ^ 2) * 4) xdx #

# = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8int (32x) / (1 + 16x ^ 2) dx #

# = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | 1 + 16x ^ 2 | + C #

Kako uporabite Integralni preskus za določitev konvergence ali divergenc serij: sum n e ^ -n od n = 1 do neskončnosti?

Vzemimo integral int_1 ^ ooxe ^ -xdx, ki je končen, in upoštevamo, da omejuje sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Zato je konvergenten, zato je tudi sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n). Formalna izjava integralnega testa navaja, da če je fin [0, oo) rightarrowRR monotono padajočo funkcijo, ki ni negativna. Potem je vsota vsota (n = 0) ^ oof (n) konvergentna, če in samo če je "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx končna. (Tau, Terence. Analiza I, druga izdaja. Agencija Hindustanske knjige. 2009). Ta izjava se morda zdi nekoliko tehnična, toda ideja je naslednja. Če upoštevamo funkcijo f (x) = xe ^ (- x), ugotovimo, da se pri x

Kako ocenjujete integralni int sinhx / (1 + coshx)?

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Začnemo z u-zamenjavo z u = 1 + cosh (x). Derivat u je potem sinh (x), zato ga delimo s sinh (x), da se integriramo glede na u: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int t (x)) / (odpoved (sinh (x)) * u) du = int 1 / u Du Ta integral je skupni integral: int 1 / t dt = ln | t | + C To naredi naš integral: ln | u | + C Lahko dobimo: ln (1 + cosh (x)) + C, kar je naš končni odgovor. Iz logaritma odstranimo absolutno vrednost, ker ugotavljamo, da je cosh na svoji domeni pozitiven, zato ni potrebno.

Kako ocenjujete določen integralni int t sqrt (t ^ 2 + 1dt), ki ga omejuje [0, sqrt7]?

Je int_0 ^ sqrt7 t * sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * (t ^ 2 + 1) '* sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2) / (3/2)] 'dt = 1/3 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2)] _ 0 ^ sqrt7 = 1/3 (16 sqrt (2) -1) ~ 7,2091