Kako uporabite Integralni preskus za določitev konvergence ali divergenc serij: sum n e ^ -n od n = 1 do neskončnosti?

Odgovor:

Vzemite integral # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, ki je končna, in upoštevajte, da je omejena #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Zato je konvergenten #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # tudi.

Pojasnilo:

Formalna izjava integralnega testa navaja, da če #fin 0, oo) rightarrowRR # monotono padajočo funkcijo, ki ni negativna. Potem vsota #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # je konvergenten, če in samo če # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # je končna. (Tau, Terence. Analiza I, druga izdaja. Agencija Hindustanske knjige. 2009).

Ta izjava se morda zdi nekoliko tehnična, toda ideja je naslednja. V tem primeru je funkcija #f (x) = xe ^ (- x) #, to opažamo za #x> 1 #, ta funkcija se zmanjšuje. To lahko vidimo tako, da vzamemo izpeljanko. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, od #x> 1 #, Torej # (1-x) <0 # in #e ^ (- x)> 0 #.

Zaradi tega ugotavljamo, da za vse #ninNN _ (> = 2) # in #x v 1, oo # tako, da #x <= n # imamo #f (x)> = f (n) #. Zato #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, Torej #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # integracijo po delih in to #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Od #f (x)> = 0 #, imamo # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, Torej #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Od #f (n)> = 0 #, serija #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # povečuje kot # N # povečuje. Ker je omejena z # 3 / e #, mora se približati. Zato #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # zbližuje.

Vsota serij 1 / (1 * 2) - 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) - .... do neskončnosti je enaka?

Vsota je = 2ln2-1 Splošni izraz serije je = (- 1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) Izvedemo razgradnjo v delne frakcije 1 / (n (n + 1)). ) = A / n + B / (n + 1) = (A (n + 1) + Bn) / (n (n + 1)) Torej, 1 = A (n + 1) + Bn Če je n = 0, =>, 1 = A Če je n = -1, =>, 1 = -B Zato, 1 / (n (n + 1)) = 1 / n-1 / (n + 1) (-1) ^ (n) +1) / (n (n + 1)) = (- 1) ^ (n + 1) / n - (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n-sum_0 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n + 1) ln (1 + x) = sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n * x ^ n sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n = ln2 sum_0 ^ ( oo) (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) = s

Kako s pomočjo definicije konvergence dokažemo, da zaporedje {5+ (1 / n)} konvergira od n = 1 do neskončnosti?

Naj bo: a_n = 5 + 1 / n, potem za vsak m, n v NN z n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) pri n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n in kot 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Glede na katero koli realno število epsilon> 0, izberite potem celo število N> 1 / epsilon. Za vsa cela števila m, n> N imamo: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, ki dokazuje Cauchyjev pogoj za konvergenco zaporedja.

Kako s pomočjo definicije konvergence dokažemo, da zaporedje {2 ^ -n} konvergira od n = 1 do neskončnosti?

Uporabite lastnosti eksponentne funkcije za določitev N, kot je | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon za vsak m, n> N Opredelitev konvergence navaja, da {a_n} konvergira, če: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Torej, glede na epsilon> 0 vzemite N> log_2 (1 / epsilon) in m, n> N z m <n Kot m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (mn)) Zdaj kot 2 ^ x je vedno pozitiven, (1 - 2 ^ (mn)) <1, tako da 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) in kot 2 ^ (- x) je strogo padajoč