Rešite diferencialno enačbo: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = 16y? Pogovorite se, kakšna je to diferencialna enačba in kdaj se lahko pojavi?

Odgovor:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Pojasnilo:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

najbolje napisano kot

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad trikotnik #

kar kaže, da je to linearna homogena diferencialna enačba drugega reda

ima značilno enačbo

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

kar je mogoče rešiti na naslednji način

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

to je ponavljajoči se koren, zato je splošna rešitev v obliki

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

to ni nihanje in modelira nekakšno eksponencialno vedenje, ki je v resnici odvisno od vrednosti A in B. Lahko bi si mislil, da je lahko poskus modeliranja populacije ali interakcije med plenilci in plenilci, vendar ne morem reči nič posebnega.

kaže nestabilnost in to je vse, kar bi lahko rekel o tem

Odgovor:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Pojasnilo:

Diferencialna enačba

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

je linearna homogena enačba s konstantnim koeficientom.

Za te enačbe ima splošna rešitev strukturo

#y = e ^ {lambda x} #

Zamenjava imamo

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Tukaj # e ^ {lambda x} ne 0 # zato se morajo rešitve držati

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Reševanje dobimo

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Ko se korenine ponovijo, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # je tudi rešitev. V primeru # n # ponavljajoče se korenine, bomo imeli rešitve:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # za # i = 1,2, cdots, n #

Da bi ohranili število začetnih pogojev, jih vključimo kot samostojne rešitve.

V tem primeru imamo

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

kar povzroči

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Te enačbe se pojavijo pri modeliranju linearnih sistemov s paralelnimi parametri, kot so tisti, ki jih najdemo v teoriji linearnih vezij ali linearni mehaniki. Te enačbe se običajno uporabljajo z operativnimi algebrskimi metodami, kot so metode Laplaceove transformacije