Kako lahko rešim to diferencialno enačbo?

Odgovor:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Pojasnilo:

To je a ločljiva diferencialna enačba, kar preprosto pomeni, da je mogoče združiti # x # pogoji # y # izrazi na nasprotnih straneh enačbe. Torej bomo to najprej počeli:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Zdaj pa hočemo dy na strani z y, in dx na strani s x. Morali bomo malo preurediti:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Zdaj integriramo obe strani:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Naredimo vsakokrat:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Najprej ga razdelimo na dva ločena integrala s pravilom seštevanja / odštevanja:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Izgledajo nekako nadležno. Lahko pa jim damo malo preobrazbe, da bodo videti lepše (in veliko lažje rešili):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Oba sta zdaj preprosta # u #- nadomestni integrali. Če nastavite #u = -x # in # -3x # boste dobili odgovor kot:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

#int y / e ^ (- y) dy #

# Če je negativni eksponent pozitiven, dobimo:

#int (vi ^ y) dy #

Za to bomo morali uporabiti integracijo po delih. Formula je:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Postavili bomo #u = y #, in #dv = e ^ y dy #. Razlog je v tem, da želimo enostavno # du # za to končno integracijo in tudi zato # e ^ y # je zelo enostavno integrirati.

Torej:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Zdaj samo povežemo in brcnemo:

# => int (vi ^ y) dy = vi ^ y - int (e ^ y) dy #

# = vi ^ y - e ^ y #

Vračanje vsega:

# vi ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Odstranjevanje negativnih predstavnikov:

# vi ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

In to je dokaj dober končni odgovor. Če si želel rešiti # y #Lahko bi, in končal bi z

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Opazite, da nimamo # + C # o LHS te enačbe. Razlog za to je, da bi ga celo, če bi jo dali, končno odšteli od RHS, in poljubna konstanta minus poljubna konstanta je še vedno (počakajmo) poljubno konstanto. Zato za te težave, dokler imate # + C # na eni strani enačbe boste v redu.

Upam, da je to pomagalo:)

Kaj je rešitev za diferencialno enačbo dy / dx + y = x?

Y = A e ^ -x + x - 1 "To je linearen prvi red. eq. Obstaja splošna tehnika za reševanje te vrste enačb." "Najprej poiščite rešitev homogene enačbe (= enaka enačba z desno stranjo enaka nič:" {dy} / {dx} + y = 0 "To je linearen prvi red dif. Z enakimi koeficienti. "Lahko rešimo tiste z zamenjavo" y = A e ^ (rx): r A e ^ (rx) + A e ^ (rx) = 0 => r + 1 = 0 "(po delitvi skozi" A "). e ^ (rx) ")" => r = -1 => y = A e ^ -x "Potem iščemo določeno rešitev celotne enačbe." "Tu imamo enostavno situacijo, saj imamo enostaven polinom" "na des

Kako rešiti ločljivo diferencialno enačbo in poiskati določeno rešitev, ki izpolnjuje začetni pogoj y ( 4) = 3?

Splošna rešitev: barva (rdeča) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" Posebna rešitev: barva (modra) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) Iz dane diferencialne enačbe y '(x) = sqrt (4y (x) +13) upoštevajte, da je y' (x) = dy / dx in y (x) = y, zato dy / dx = sqrt (4y + 13) delite obe strani s sqrt (4y + 13) dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) dy / dx (1 / sqrt (4y + 13) )) = 1 Pomnožite obe strani z dx dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 prekličite (dx) * dy / cancel (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 dy / sqrt (4y + 13) = dx prenese dx na levo stran dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0, ki se

Rešite diferencialno enačbo: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = 16y? Pogovorite se, kakšna je to diferencialna enačba in kdaj se lahko pojavi?

Y = (Ax + B) e ^ (4x) (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = 16y najbolje napisano kot (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad trikotnik, ki kaže, da je to linearna homogena diferencialna enačba drugega reda, ki ima karakteristično enačbo r ^ 2 8 r + 16 = 0, ki jo je mogoče rešiti na naslednji način (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 to je ponavljajoči se koren, tako da je splošna rešitev v obliki y = (Ax + B) e ^ (4x), to je nenasilno in modelira nekakšno eksponentno vedenje, ki je res odvisno od vrednosti A in B. Lahko bi ugibali, da bi to lahko bil poskus modeliranja medsebojne interakcije med prebivalstvom ali plenilcem /