Vprašanje # 90cf3 + Primer

Odgovor:

Da bi našli korenine enačb # e ^ x = x ^ 3 #, Priporočamo vam, da uporabite metodo rekurzivne numerične analize, imenovano Newtonova metoda

Pojasnilo:

Naredimo primer.

Za uporabo Newtonove metode napišemo enačbo v obliki #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Izračunaj #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Ker metoda zahteva, da naredimo enako računanje večkrat, dokler se ne konvergira, priporočam, da uporabite Excelovo preglednico; preostali del mojega odgovora bo vseboval navodila za to.

V celico A1 vnesite dobro ugibanje x. Za to enačbo bom vnesel 2.

V celico A2 vnesite naslednje:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Upoštevajte, da je zgornji jezik programa Excel za preglednice

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Vsebino celice A2 prekopirajte v A3 do A10. Po samo 3 ali 4 rekurzijah lahko vidite, da je metoda konvergirana

#x = 1.857184 #

Odgovor:

Uporabimo lahko teorem o vmesni vrednosti, da vidimo, da ima vsak par vsaj eno točko presečišča.

Pojasnilo:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # je neprekinjeno na celotni pravi liniji.

At # x = 0 #, imamo #f (0) = 1 #.

At # x = -1 #, imamo #f (-1) = 1 / e-1 # negativno.

# f # je stalno #-1,0#, tako da obstaja vsaj ena # c # v #(-1,0)# z #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # je neprekinjeno na celotni pravi liniji.

At # x = 0 #, imamo #g (0) = 1 #.

At # x = 2 #, imamo #g (2) = e ^ 2-8 # negativno.

(Upoštevajte, da # e ^ 2 ~~ 2,7 ^ 2 <7,3 <8 #.)

# g # je stalno #0,2#, tako da obstaja vsaj ena # c # v #(0,2)# z #g (c) = 0 #.