Vprašanje # 53a2b + Primer

Odgovor:

Ta definicija razdalje je nespremenljiva pod spremembo inercialnega okvira in ima torej fizični pomen.

Pojasnilo:

Prostor Minkowskega je zgrajen kot 4-dimenzionalni prostor s koordinatami parametrov # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, kjer ponavadi govorimo # x_0 = ct #. V jedru posebne relativnosti imamo Lorentzeve transformacije, ki so transformacije iz enega inercialnega okvira v drugega, ki puščajo hitrost svetlobe invariantno. Ne bom šel v popolno izpeljavo Lorentzovih transformacij, če želite, da to pojasnim, samo vprašajte in bom podrobneje razložil.

Pomembno je naslednje. Ko pogledamo evklidski prostor (prostor, v katerem imamo običajno definicijo dolžine, na katero smo navajeni # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), imamo določene transformacije; prostorske rotacije, prevodi in zrcaljenja. Če izračunamo razdaljo med dvema točkama v različnih referenčnih okvirih, povezanih s temi transformacijami, ugotovimo, da je razdalja enaka. To pomeni, da je pri teh transformacijah evklidska razdalja invariantna.

Zdaj razširimo ta pojem na 4-dimenzionalni prostor-čas. Pred Einsteinovo teorijo posebne relativnosti smo povezali inercijske okvirje s Galilejevimi transformacijami, ki so pravkar nadomestile prostorske koordinate # x_i # jo # x_i-v_it # za #iin {1,2,3} # kje # v_i # je hitrost opazovalca v. t #jaz# smeri glede na prvotni okvir. Ta transformacija ni pustila, da je hitrost svetlobe invariantna, vendar je pustila razdaljo, ki jo je povzročil element linije # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, preprosto zato, ker ni časovne koordinate, zato je čas absoluten.

Vendar pa transformacija Galileja ne opisuje natančno transformacije enega inercialnega okvira v drugega, saj vemo, da je hitrost svetlobe invariantna pri pravilnih koordinatnih transformacijah. Zato smo uvedli Lorentzovo transformacijo. Euklidska razdalja, razširjena na 4-dim-prostorski čas, kot je bilo opravljeno zgoraj, ni invariantna pri tej Lorentzovi transformaciji, vendar je razdalja, ki jo povzroča # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # je, kar imenujemo ustrezna razdalja. Torej, čeprav je ta evklidska razdalja, na kateri ima Pitagorin teorem, povsem ustrezna matematična struktura na 4 dimnem prostoru, nima fizičnega pomena, ker je odvisna od opazovalca.

Pravilna razdalja ni odvisna od opazovalca, zato ji lahko damo fizični pomen, to naredimo tako, da povežemo obločno linijo svetovnega pasu skozi prostor Minkowskega s to razdaljo do preteklega časa, ki ga opazuje objekt, ki potuje po tej svetovni liniji. Upoštevajte, da če zapustimo čas, je Pitagorin izrek še vedno v prostorskih koordinatah.

EDIT / ADDITIONAL EXPLANATION:

Prvotni prosilec tega vprašanja me je prosil, da še malo podrobneje pojasnim, napisal je: "Hvala. Ampak, prosim, prosim, pojasnite zadnja dva odstavka malo več. # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 #. Prosimo, pojasnite: "V bistvu imamo tu dvodimenzionalno različico tega, kar sem opisal zgoraj. Imamo opis prostor-časa z eno časovno in eno prostorsko dimenzijo. Na tej določimo razdaljo ali natančneje normo (oddaljenost od izvor do točke) # s # z uporabo formule # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # kje # x # je prostorska koordinata in # t # časovna koordinata.

Kar sem naredil zgoraj, je bila tridimenzionalna različica tega, še pomembneje pa sem uporabila # (ds) ^ 2 # namesto # s ^ 2 # (Za pojasnitev kvadrata sem dodal oklepaje). Ne da bi preveč vnašali podrobnosti diferencialne geometrije, če imamo linijo, ki povezuje dve točki v prostoru, # ds # je dolžina majhnega kosa črte, tako imenovanega elementa linije. Preko 2D različice tega, kar sem napisal zgoraj, imamo # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, ki povezuje dolžino tega drobnega kosa z drobno spremembo koordinat. Za izračun razdalje od začetka do točke # x_0 = a, x_1 = b # v prostor-času izračunamo dolžino premice, ki poteka od začetka do te točke, ta vrstica je podana # x_0 = a / bx_1 # kje # x_1in 0, b #, opažamo to # dx_0 = a / bdx_1 #, Torej # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, Torej # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, ki jih lahko integriramo, dajemo # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Zato # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # v # (t, x) # koordinate.

Torej, to, kar sem napisal zgoraj, daje tisto, kar ste prebrali v knjigi. Vendar pa različica elementov vrstice omogoča izračun dolžine katere koli črte, ne le ravnih črt. Zgodba o Lorentzovi transformaciji še vedno drži, ta norma # s # je nespremenljiva glede na spremembo referenčnega okvira, medtem ko # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # ni.

Dejstvo, da Pitagorin izrek ne drži, ni presenetljivo. Pitagorin izrek drži v evklidski geometriji. To pomeni, da je prostor, v katerem delate, ravnovesen. Primer prostorov, ki niso ravno, je površina krogle. Ko želite poiskati razdaljo med dvema točkama na tej površini, vzamete dolžino najkrajše poti preko te površine, ki povezuje ti dve točki. Če bi na tej površini zgradili pravokotni trikotnik, ki bi bil videti zelo drugačen od trikotnika v evklidskem prostoru, ker linije ne bi bile ravne, Pythagorin teorem na splošno ne drži.

Druga pomembna značilnost evklidske geometrije je, da ko postavite koordinatni sistem na ta prostor, vsaka koordinata opravi isto vlogo. Lahko zavrtite osi in končate z isto geometrijo. V geometriji Minkowskega zgoraj vse koordinate nimajo enake vloge, ker imajo časovne osi v enačbah znak minus, druge pa niso. Če tega minus znaka ne bi bilo, bi imeli čas in prostor podobno vlogo v prostor-času ali vsaj v geometriji. Vemo pa, da prostor in čas nista enaka.