Kako uporabiti prvi izpit za določanje lokalnih ekstremov y = sin x cos x?

Odgovor:

Ekstremi za # y = sin (x) cos (x) # so

# x = pi / 4 + npi / 2 #

z # n # relativno celo število

Pojasnilo:

Be #f (x) # funkcijo, ki predstavlja spremembo. t # y # z repsect na # x #.

Be #f '(x) # izpeljan iz #f (x) #.

#f '(a) # je naklon #f (x) # krivulja na # x = a # točka.

Ko je naklon pozitiven, se krivulja povečuje.

Ko je naklon negativen, se krivulja zmanjša.

Ko je naklon nič, ostane krivulja na isti vrednosti.

Ko krivulja doseže ekstrem, se bo prenehala povečevati / zmanjševati in začeti padati / povečevati. Z drugimi besedami, nagib bo prešel iz pozitivnega v negativen - ali negativen na pozitivno - skozi ničelno vrednost.

Če iščete ekstreme funkcije, morate iskati ničelne vrednosti njenih derivatov.

N.B. Obstaja situacija, ko je derivat ničen, vendar krivulja ne doseže ekstrema: imenuje se prevojna točka. krivulja bo za trenutek prenehala povečevati / zmanjševati in nato nadaljevati s povečevanjem / zmanjševanjem. Torej morate preveriti tudi, ali se znak nagiba spreminja glede na njegovo ničelno vrednost.

Primer: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Zdaj, ko imamo formulo za #f '(x) #, bomo iskali njegove ničelne vrednosti:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Rešitve so # pi / 4 + npi / 2 # z # n # relativno celo število.

Odgovor:

Tudi če načrtujemo uporabo prvega preizkusa, je vredno opazovati to #y = 1/2 sin (2x) #.

Pojasnilo:

Ko smo to opazili, ne potrebujemo računa, da bi našli ekstreme.

Lahko se zanesemo na naše poznavanje trigonometrije in grafov sinusnih funkcij

Največja vrednost (1/2) se bo pojavila, ko # 2x = pi / 2 + 2pik # ali kdaj #x = pi / 4 + pik # za # k # celo število.

Minimalno se zgodi na #x = 3pi / 4 + pik # za # k # celo število.

Izpeljava lahko uporabimo, vendar je ne potrebujemo.

Uporaba Derivata

Po pisanju # y #, lahko to hitro vidimo #y '= cos (2x) #

Torej so kritične številke za # y # so # 2x = pi / 2 + 2pik # in # 2x = (3pi) / 2 + 2 pika #, (ko je kosinus. t #0#) ali

# x = pi / 4 + pik # in # x = (3pi) / 4 + pik #

Preverjanje znaka #y '= cos (2x) #, najdemo maksimalne vrednosti pri prvem nizu kritičnih številk in najmanjše vrednosti v drugem.