Kakšen je obseg funkcije f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Odgovor:

Območje je #R = (-infty, -1/2) uu 1/6, + infty #

Pojasnilo:

Vedite, da je imenovalec nedoločen, kadar koli

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, to je, kadar koli

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

ali

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, kje #n v ZZ # (# n # je celo število).

Kot # x # pristopov #x_ (1, n) # od spodaj, #f (x) # pristopov # - infty #, če pa # x # pristopov #x_ (1, n) # od zgoraj #f (x) # pristopov # + infty #. To je skoraj posledica delitve #-0# ali #+0#'.

Za #x_ (2, n) # položaj je obrnjen. Kot # x # pristopov #x_ (2, n) # od spodaj, #f (x) # pristopov # + infty #, če pa # x # pristopov #x_ (2, n) # od zgoraj #f (x) # pristopov # -infty #.

Dobimo zaporedje intervalov, v katerih #f (x) # je neprekinjeno, kot je razvidno iz grafa. Najprej razmislite o "skledah" (na katerih koncih funkcija deluje do # + infty #). Če lahko v teh intervalih najdemo lokalne minimume, potem to vemo #f (x) # prevzame vse vrednosti med to vrednostjo in # + infty #. Enako lahko storimo tudi za "obrnjene sklede" ali "kape".

Ugotavljamo, da je najmanjša pozitivna vrednost pridobljena, kadar je imenovalec v #f (x) # kolikor je mogoče, to je, kdaj #sin (x) = 1 #. Zato sklepamo, da je najmanjša pozitivna vrednost #f (x) # je #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Podobno velja tudi za največjo negativno vrednost #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Zaradi kontinuitete #f (x) # v intervalih med diskontinuitetami in izrek o vmesni vrednosti lahko sklepamo, da je razpon #f (x) # je

#R = (-infty, -1/2) uu 1/6, + infty #

Trdi oklepaji pomenijo, da je število vključeno v interval (npr. #-1/2#), medtem ko v oklepajih pomeni, da številka ni vključena.

graf {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}