Trikotnik ima vozlišča A (a, b), C (c, d) in O (0, 0). Kakšna je enačba in območje omejenega kroga trikotnika?

Odgovor:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # kje

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Pojasnilo:

To vprašanje sem posplošil; da vidimo, kako to poteka. Zapustil sem eno točko pri izvoru, zaradi česar je nekoliko manj neurejen, in poljuben trikotnik je lahko preveden.

Trikotnik je seveda popolnoma nepomemben za ta problem. Obkrožena krog je krog skozi tri točke, ki so tri točke. Trikotnik naredi presenečenje v rešitvi.

Nekatera terminologija: omejeni krog se imenuje trikotnik circumcircle in središče trikotnika circumcenter.

Splošna enačba za krog s središčem # (p, q) # in kvadratnega polmera # s # je

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

in območje kroga je #A = pi s. #

Imamo tri neznane # p, q, s # in poznamo tri točke, zato dobimo tri enačbe:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # ker je izvor v krogu.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Rešimo sočasne enačbe. Pretvorimo jih v dve linearni enačbi z razširitvijo in odštevanjem parov, kar pomeni izgubo # p ^ 2 + q ^ 2 # na levi in # s # na desni.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Odštevanje, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Podobno, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

To sta dve enačbi v dveh neznanih. # AX = K # ima rešitev # X = A ^ {- 1} K. # Spomnim se dveh obrnjenih matric, ki jih ne znam formatirati, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Za nas to pomeni

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

in kvadratni polmer

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

tako območje # pi # ta znesek.

Vidimo lahko, da izraz postane bolj simetričen, če upoštevamo, kaj se zgodi za poljuben trikotnik # (A, B), (C, D), (E, F). Postavili smo # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # ampak tega ne bom rešil zdaj.

Opazil bom števec # s # je produkt treh kvadratnih dolžin strani trikotnika in imenovalca # s # je šestnajstkrat več kvadratov trikotnika.

V Rational Trigonometry imenujemo kvadratne dolžine kvadranti in šestnajstkrat kvadratno območje se imenuje quadrea. Ugotovili smo, da je kvadrat polmera krožnice produkt kvadrantov trikotnika, deljenega s kvadrea.

Če potrebujemo samo polmer ali območje krožnice, lahko rezultat tukaj povzamemo kot:

Kvadratni radij obročnega obroča je produkt kvadratnih dolžin trikotnika, ki je razdeljen s šestnajstkratno kvadratno površino trikotnika.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #