Kako integrirati sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Odgovor:

#int, sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Pojasnilo:

Ker je lažje obravnavati samo enega # x # pod kvadratnim korenom zaključimo kvadrat:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int, sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Zdaj moramo narediti trigonometrično zamenjavo. Uporabljam hiperbolične trigonomske funkcije (ker sekantni integral običajno ni zelo lep). Želimo uporabiti naslednjo identiteto:

# cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Da bi to naredili, si želimo # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Lahko rešimo # x # da bi dobili kakšno zamenjavo potrebujemo:

# x + 2 = 2cosh (theta) #

# x = 2cosh (theta) -2

Za integracijo glede na # theta #, moramo pomnožiti z izpeljanko od # x # s spoštovanjem do # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta)

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta)

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta)

Zdaj lahko uporabimo identiteto # cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) t

Zdaj uporabljamo identiteto:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Lahko naredimo eksplicitno u-zamenjavo za # 2cosh (2theta) #, vendar je precej očitno, da je odgovor #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Zdaj moramo razveljaviti zamenjavo. Lahko rešimo # theta # dobiti:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

To daje:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #