Kako integrirati int x ^ lnx?

Odgovor:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Pojasnilo:

Začnemo z u-zamenjavo z # u = ln (x) #. Nato delimo z derivatom # u # integracijo v zvezi z # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u t

Zdaj moramo rešiti # x # v smislu # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

d = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) t

Lahko mislite, da to nima elementarnega anti-izpeljanka in da bi bili prav. Lahko pa uporabimo obrazec za namišljeno funkcijo napake, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Da bi dobili naš integral v to obliko, lahko imamo samo eno kvadratno spremenljivko v eksponentu # e #, zato moramo zaključiti kvadrat:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ (u + 1/2) ^ 2)

Zdaj lahko uvedemo u-zamenjavo z # t = u + 1/2 #. Izvedena je samo #1#, zato nam ni treba storiti ničesar posebnega, da bi se povezali z njim # t #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Zdaj lahko razveljavimo vse zamenjave, da dobimo:

#e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #