Kako vključiti int e ^ x sinx cosx dx?

Odgovor:

dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Pojasnilo:

Najprej lahko uporabimo identiteto:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

ki daje:

ex xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Zdaj lahko uporabimo integracijo po delih. Formula je:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Pustil bom #f (x) = sin (2x) # in #g '(x) = e ^ x / 2 #. Z uporabo formule dobimo:

ex x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Zdaj lahko integracijo uporabimo še enkrat po delih #f (x) = cos (2x) # in #g '(x) = e ^ x #:

ex x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -sin (2x) e ^ x dx) #

Exxin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Zdaj imamo integral na obeh straneh enakosti, tako da ga lahko rešimo kot enačbo. Najprej dodamo 2-kratni integral na obe strani:

Exxin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Ker smo želeli polovico kot koeficient na prvotnem integralu, obe strani razdelimo z #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Odgovor:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Pojasnilo:

Iščemo:

# I = int e ^ x sinxcosx t

Katera uporaba identitete:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Lahko pišemo kot:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x t

# I = 1/2

Kjer je zaradi udobnosti označeno:

# I_S = int e ^ x sin2x, in # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Zdaj spet opravljamo integracijo po delih.

Let # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Nato vključimo v IBP formulo:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B

Zdaj imamo dve simultani enačbi v dveh neznanih # I_S #. in # I_C #, tako da nadomestimo B v A imamo:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

E ^ x x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Vodi k:

I_S + C #

# 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #