Kako kažeš, da je derivat lihove funkcije enak?

Za dano funkcijo # f #, njegov derivat je podan z

#g (x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #

Sedaj moramo to pokazati, če #f (x) # je nenavadna funkcija (z drugimi besedami, # -f (x) = f (-x) # za vse # x #) #g (x) # je parna funkcija (#g (-x) = g (x) #).

S tem v mislih, poglejmo kaj #g (-x) # je:

#g (-x) = lim_ (h-> 0) (f (-x + h) -f (-x)) / h #

Od #f (-x) = - f (x) #, zgoraj je enako

#g (-x) = lim_ (h-> 0) (- f (x-h) + f (x)) / h #

Določite novo spremenljivko # k = -h #. Kot # h-> 0 #, tako tudi # k-> 0 #. Zato zgoraj postane

#g (-x) = lim_ (k-> 0) (f (x + k) -f (k)) / k = g (x) #

Zato, če #f (x) # je liha funkcija, njen derivat #g (x) # bo enakomerna funkcija.

# "Q.E.D."