Vsak pravokotnik je dolg 6 cm in širok 3 cm, in imata skupno diagonalo PQ. Kako kažeš, da je tanalpha = 3/4?

Odgovor:

dobim #tan alpha = tan (pi / 2 - 2 arctan (3/6)) = 3/4 #

Pojasnilo:

Zabavno. Lahko si zamislim nekaj različnih načinov za to. Za vodoravni pravokotnik naj pokličemo zgornji levi S in spodaj desno R. Pokličimo vrh črte, kot drugega pravokotnika, T.

Imamo skladne kote QPR in QPT.

# tan QPR = tan QPT = frac {besedilo {nasprotno}} {tekst {sosednje}} = 3/6 = 1/2 #

Formula tangentnega dvojnega kota nam daje #tan RPT #

#tan (2x) = frac {2 tan x} {1 - tan ^ 2 x} #

#tan RPT = frac {2 (1/2)} {1 - (1/2) ^ 2} = 4/3 #

Zdaj # alfa # je komplementarni kot RPT (ki sega do. t # 90 ^ circ #), torej

# tan alpha = ležišče RPT = 3/4 #

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Trikotniki # DeltaABP # in # DeltaCBQ # pravokotni trikotniki, ki imajo:

# AP = CQ = 3 # in

# / _ ABP = / _ CBQ # ker so navpični koti.

Zato sta dva trikotnika skladna.

To pomeni:

# PB = BQ #

Let # AB = x # in # BQ = y # potem:

# PB = y #

Vemo, da:

# x + y = 6 # cm #barva (rdeča) (enačba-1) #

V trikotniku # DeltaABP #:

# y ^ 2 = x ^ 2 + 9 # #barva (rdeča) (enačba-2) #

Rešimo za # y # od #barva (rdeča) (enačba-1) #:

# y = 6-x #

Vključimo to v #barva (rdeča) (enačba-2) #:

# (6-x) ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x + x ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x = 9 #

# 12x = 27 #

# x = 9/4 #

# tanalpha = (AB) / (AP) = x / 3 = (9/4) / 3 = 9/12 = 3/4 #