Kaj je inverzna f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3)?

Odgovor:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Pojasnilo:

Ob predpostavki, da imamo opravka # log_3 # kot realno vrednotena funkcija in obratno # 3 ^ x #, potem domena #f (x) # je # (3, oo) #, saj zahtevamo #x> 3 # z namenom, da # log_3 (x-3) # opredeliti.

Let #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Nato:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Torej:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

Torej:

# 3 ^ (- y / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

Torej:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

Pravzaprav mora biti pozitivni kvadratni koren, ker:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

Torej:

#x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Zato:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #