Če kamen pade na višini 174,9 m od helikopterja, ki se dviga s hitrostjo 20,68 m / s, kako dolgo traja kamen, da doseže tla?

Odgovor:

8,45 sekund.

Pojasnilo:

Smer 'g', ko govorimo o pospeševanju, je odvisna od koordinatnega sistema, ki ga definiramo. Na primer, če bi določili navzdol kot pozitivno 'y', bi bil g pozitiven. Konvencija bo povečala kot pozitivno, tako da bo g negativna. To je tisto, kar bomo uporabili, prav tako bomo vzeli podlago kot #y = 0 #

#color (rdeča) ("EDIT:") # Dodal sem pristop z uporabo kinematičnih enačb, ki jih boste na začetku spoznali. Vse, kar sem naredil tukaj, izhaja iz teh z uporabo računa, vendar cenim, da ga morda niste zajeli.Pomaknite se navzdol do rdečega naslova za pristop brez računa.

Na to se lahko poglobimo, če začnemo iz nič z Newtonovim drugim zakonom. Ko je kamen padel, ima začetno hitrost, toda edina sila, ki deluje na to, je posledica gravitacije. Določili smo navzgor kot pozitivno smer y tako, da lahko z Newtonovim drugim zakonom pišemo

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

To je zato, ker bo kamen pospešil proti Zemlji, kar smo definirali kot negativno smer.

Vključevanje tega izraza daje:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # je hitrost kamna, torej, ko uporabimo začetno hitrost pri. t #y '(0) = + 20,68 # pridemo do

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20.68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

To modelira hitrost in ima smisel, če pomislite. Ko se sprosti, bo imela enako hitrost kot helikopter in se bo za čas premaknila navzgor, vendar se bo sčasoma ustavil in potem začel padati.

Če želite poiskati premik, ga ponovno vključimo:

#y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Uporabi začetno stanje #y (0) = 174,9 #

# 174.9 = 20.68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174.9 #

#torej y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174,9 #

Če želite rešiti čas, da dosežete tla, nastavite # y = 0 # in rešiti kvadratno:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20.68t - 174.9 = 0 #

To je vsekakor delo za kvadratno formulo:

#t = (20.68 + -sqrt (20.68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174.9))) / g #

Jemanje #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8.45 ali -4.23 #

Negativno raztopino zavržemo, tako da kamen traja 8,45 sekund, da zadene tla.

#color (rdeča) ("No Calculus Approach") #

To vemo #v = v_0 + pri # kje # v # je končna hitrost, # v_0 # je začetna hitrost, # a # je pospešek in. t # t # je čas, ko je vložen zahtevek.

Kot sem rekel prej, s koordinatnim sistemom navzgor # g # bo negativna, vendar se bo kamen premaknil navzgor zaradi začetne hitrosti. Želimo najti točko, v kateri se preneha premikati navzgor:

Set #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#tjer je t = v_0 / g = 20.68 / 9.8 #

Zdaj uporabite

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # ponovno z #a = -g #

tako #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20,68) ^ 2 / 9.8 - (20.68 ^ 2) / (2 * 9.8) #

#S = 21,8 m #

To pomeni, da se kamen za trenutek ustavi #y = 174.9 + 21.8 #

#y = 196,7 m #

Zdaj nimamo neprijetnih začetnih hitrosti, s katerimi bi se lahko spopadli, samo ravno padanje s te višine:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Ker je navzgor pozitiven, bo padanje povzročilo negativni premik, tako da

# -196,7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196,7) /9,8) #

#t = 8.45 # kot zahteva.

Odgovor:

8,45s

Pojasnilo:

Helikopter se dviga s hitrostjo # u = 20,68 m / s # Tako bo kamen, ki je padel iz njega, imel enako začetno hitrost kot naraščajoča hitrost helikopterja, toda navzdol gravitacijska sila bo pospešila navzdol (g).

Glede na to, da je kamen iz helikopterja spuščen kot izvor, nadaljujemo na naslednji način

Če navzgor začetno hitrost pozitiven potem pospešek navzdol (g) je treba upoštevati negativno in premik navzdol (h) upoštevati tudi negativno.

#color (rdeča) ("Tukaj navzgor + ve in navzdol") #

Zdaj izračun časa (t) doseganja tal

Tako smo

# u = + 20,68 m / s #

# g = -9.8m / s ^ 2 #

# h = -174.9m #

#t =? #

Vstavljanje teh v enačbo gibanja pod gravitacijo (ki vsebuje spremenljivke h, u, g, t) dobimo

# h = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174.9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174.9 = 0 #

# => t = (20,68 + sqrt ((- 20,68) ^ 2-4 * 4,9 * (- 174,9)) / (2 * 4,9) #

#:. t = 8,45s #

Enako enačbo (1) dobimo, če obrnemo smer#color (rdeča) ("t.j. upward - ive in down + ive.") #