Kaj je eksponentna funkcija? - Precalculus 2025

Eksponentna funkcija se uporablja za modeliranje razmerja, v katerem konstantna sprememba neodvisne spremenljivke daje isto proporcionalno spremembo odvisne spremenljivke.

Funkcija je pogosto napisana kot exp (x) Široko se uporablja v fiziki, kemiji, inženirstvu, matematični biologiji, ekonomiji in matematiki.

Eksponentna funkcija je funkcija oblike #f (x) = a ^ x # z #a> 0 # ampak #a! = 1 #.

Za celo in racionalno # x #, podajamo definicije # a ^ x # v razredih algebre.

Za iracionalno # x # dolgujemo vam definicijo, ampak en pristop k opredelitvi je opisati # a ^ x # za iracionalno # x # kot številka thar # a ^ r # postane bolj racionalna # r # približaj se # x #. (Dolgujemo vam dokazilo, da obstaja edinstvena takšna številka.)

Primeri:

#f (x) = 2 ^ x #

#f (x) = 5 ^ x #

#f (x) = (2/5) ^ x #

#f (x) = 4 ^ x = (2 ^ 2) ^ x = 2 ^ (2x) #

Zadnji primer ponazarja, zakaj prav tako upoštevamo #f (x) = a ^ (kx) # za stalno #k! = 0 # biti eksponentne funkcije

Lahko pišemo #f (x) = a ^ (kx) = (a ^ k) ^ x # in #a> 0 # in #k! = 0 # to #f (x) = b ^ x # za "pravo vrsto" # b #. (#b> 0 #, in #b! = 1 #)

Je y = 3 ^ x eksponentna funkcija?

Da - je v obliki y = a ^ x z a> 1, zato je eksponentno naraščajoča funkcija. Izraz "eksponentna funkcija" je uporabljen za e ^ x, toda vsaka funkcija f (x) = a ^ x z a> 0 in a! = 1 je eksponentna funkcija. Če je k = log_e (a), potem a ^ x = e ^ (kx)

Kakšna je eksponentna funkcija v obliki y = ab ^ x, čigar graf gre skozi (1,3) (2,12)?

Y = 3 * 4 ^ (x-1) y = ab ^ x Povedano nam je, da točke (1,3) in (2,12) ležita na grafu y Zato: y = 3, ko je x = 1 in y = 12 pri x = 2:. 3 = a * b ^ 1 [A] in 12 = a * b ^ 2 [B] [A] -> a = 3 / b [C] [C] v [B] -> 12 = 3 / b * b ^ 2 b = 4 b = 4 v [C] -> a = 3/4 Zato je naša funkcija y = 3/4 * 4 ^ x kar poenostavlja: y = 3 * 4 ^ (x-1) Lahko testiramo to je vrednotenje y pri x = 1 in x = 2, kot je prikazano spodaj: x = 1: y = 3 * 4 ^ 0 = 3 * 1 = 3 Preverite ok x = 2: y = 3 * 4 ^ 1 = 3 * 4 = 12 Preverite ok Zato je eksponentna funkcija pravilna.

Kakšna je eksponentna funkcija s točkami (0, 1) in (3, 64)?

F (x) = 4 ^ x Želimo eksponentno funkcijo f (x) = a ^ x tako, da f (0) = a ^ 0 = 1 in f (3) = a ^ 3 = 64. Torej moramo res določiti. Za ^ 0 = 1 je lahko katerakoli realna (ne-ničelna) številka, ta primer nam ne pove veliko. Za ^ 3 = 64 upoštevajte število, ki je, kadar je kubičen, enako 64. Edina številka, ki izpolnjuje to zahtevo, je 4, 4 ^ 3 = 4 * 4 * 4 = 16 * 4 = 64 Torej, eksponentna funkcija hočeš je f (x) = 4 ^ x