Kakšna je splošna rešitev diferencialne enačbe y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Karakteristična enačba je:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "ALI" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "disk četverice. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "torej imamo dve kompleksni rešitvi, to sta" # #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Torej je splošna rešitev homogene enačbe:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Posebna rešitev za celotno enačbo je" #

# "y = x," #

# "To je enostavno videti." #

# "Torej je popolna rešitev:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Odgovor:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Pojasnilo:

Imamo:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Ali, alternativno:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

To je a tretjič linearna nehomogena diferenciacijska enačba s konstantnimi koeficienti. Standardni pristop je najti rešitev, # y_c # homogene enačbe z opazovanjem pomožne enačbe, ki je polinomska enačba s koeficienti derivatov. # y_p # nehomogene enačbe.

Korenine pomožne enačbe določajo dele rešitve, ki, če so linearno neodvisne, superpozicijo rešitev oblikujejo popolno splošno rešitev.

• Resnične različne korenine # m = alfa, beta, … # bo prinesel linearno neodvisne rešitve forme # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Bodi ^ (betax) #, …
• Resnične ponavljajoče se korenine # m = alfa #, bo prinesla rešitev oblike # y = (Ax + B) e ^ (alphax) # kjer ima polinom enako stopnjo kot ponovitev.
• Kompleksne korenine (ki se morajo pojaviti kot konjugirani pari) # m = p + -qi # bo dala pare linearno neodvisnih rešitev forme # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Posebna rešitev

Da bi našli posebno rešitev nehomogene enačbe:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) t z #f (x) = 4 # ….. C

potem kot #f (x) # je polinom stopnje #0#, iskali bi polinomsko rešitev enake stopnje, tj. forme #y = a #

Vendar pa taka rešitev že obstaja v raztopini CF in zato mora upoštevati možno rešitev forme # y = ax #, Kje so konstante # a # se določi z neposredno zamenjavo in primerjavo: t

Razlikovanje # y = ax # wrt # x # dobimo:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Če te rezultate nadomestimo z DE A, dobimo:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

In tako oblikujemo posebno rešitev:

# y_p = x #

Splošna rešitev

Ki nato vodi do GS A

# y (x) = y_c + y_p #

= A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Upoštevajte to rešitev #3# konstante integracije in #3# linearno neodvisne rešitve, torej s teoremom obstojnosti in edinstvenosti njihova superpozicija je splošna rešitev