Zakaj ne moremo integrirati x ^ x?

Odgovor:

Nimamo pravila za to.

Pojasnilo:

V integralih imamo standardna pravila. Pravilo proti verigi, pravilo proti izdelku, pravilo proti moči in tako naprej. Vendar nimamo enega za funkcijo, ki ima # x # tako v osnovni kot v moči. Izpeljamo ga lahko čisto v redu, toda poskušanje prevzema njegovega integrala je nemogoče zaradi pomanjkanja pravil, s katerimi bi deloval.

Če odprete Desmos Graphing Calculator, ga lahko poskusite priključiti

# int_0 ^ x a ^ ada #

in to bo v redu. Toda če poskušate uporabiti pravilo proti moči ali protipredmetno pravilo za grafiranje proti njemu, boste videli, da ne uspe. Ko sem jo poskušal najti (na katerem še vedno delam), sem najprej to storil, da sem se umaknil iz tega obrazca v naslednje:

# inte ^ (xln (x)) dx #

To nam v bistvu omogoča, da uporabimo pravila računanja malo bolje. Toda tudi če uporabljate Integration by Parts, se nikoli ne znebite integrala. Zato dejansko ne dobite funkcije, da jo določite.

Ampak kot vedno v matematiki, je zabavno eksperimentirati.Torej pojdi naprej in poskusi, vendar ne predolgo ali težko, dobiš zanič v to zajec luknjo.

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

#y = x ^ x # mogoče integrirati. Na primer

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0,783430510712135 … #

druga stvar je, da imamo zdaj nekaj dni funkcijo #f (x) # ki predstavlja v zaprti obliki primitiv za # x ^ x # ali z drugimi besedami, tako da

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Če bi bila to funkcija skupne uporabe v tehnično-znanstvenih problemih, bi zagotovo izumili diferencirano ime in simbol za manipulacijo z njim. Tako kot je Lambertova funkcija definirana kot

#W (x) = x e ^ x #

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Kot je Cesareo navedel (ne da bi rekel), obstaja nekaj dvoumnosti v "ne moremo integrirati".

Funkcija #f (x) = x ^ x # je stalno # (0, oo) #

in naprej # 0, oo) # če naredimo #f (0) = 1 #, zato naredimo to. Zato je določen integral

# int_a ^ b x ^ x dx # obstaja za vse # 0 <= a <= b #

Nadalje, temeljni izrek calulusa nam pove, da je funkcija # int_0 ^ x t ^ t dt # ima izpeljan # x ^ x # za #x> = 0 #

To, kar ne moremo storiti, je izraziti to funkcijo v lepi, končni, zaprti obliki algebrskih izrazov (ali celo dobro poznati transcendentalne funkcije).

V matematiki je veliko stvari, ki jih ni mogoče izraziti, razen v obliki, ki omogoča zaporedno boljše približke.

Na primer:

Številka, katere kvadrat je #2# ni mogoče izraziti v decimalni ali delni obliki z uporabo končnega izraza. Zato mu dajemo simbol, # sqrt2 # in jo približajte poljubni stopnji natančnosti.

Razmerje oboda do premera kroga ne more biti dokončno izraženo z uporabo končne algebraične kombinacije celih števil, zato mu podamo ime, # pi # in jo približajte poljubni stopnji natančnosti.

Rešitev za # x = cosx # prav tako se lahko približa kateri koli želeni stopnji natančnosti, vendar ne more biti dokončno izražena. To število (morda) ni dovolj pomembno, da bi mu dali ime.

Kot je rekel Cesareo, če je integral # x ^ x # imel veliko aplikacij, matematiki bi sprejeli ime za to.

Toda izračuni bi še vedno zahtevali neskončno približevanje.