Kako pretvorite r = 1 / (4 - costheta) v kartezijsko obliko?

Odgovor:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Pojasnilo:

Hej, Sokrat: Ali je res potrebno povedati, da je bilo to postavljeno pred 9 minutami? Ne maram, da me lažejo. Povejte nam, da je bila postavljena pred dvema letoma in nihče še ni uspel. Tudi, kaj se dogaja s sumljivo identično oblikovanimi vprašanji, zastavljenimi na več mestih? Da ne omenjam Santa Cruz, ZDA? Gotovo je več kot eno, čeprav slišim tisto v Kaliforniji. Verodostojnost in ugled sta pomembna, zlasti na domači strani. Ne zavajajte ljudi. Konec.

Pri pretvarjanju enačb iz polarnih v pravokotne koordinate je brutalna sila pravokotna na polarno zamenjavo

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = tekst {arctan2} (y "/," x) quad #

je le redko najboljši pristop. (Tu namerno označujem obratno tangento s štirimi kvadranti, vendar se ne preusmerimo.)

V idealnem primeru želimo uporabiti polarno do pravokotnih substitucij, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

V redu, poglejmo vprašanje.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Te polarne enačbe na splošno dopuščajo negativno # r #, ampak tukaj smo prepričani # r # je vedno pozitiven.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Menim, da so to elipse, kar ni pomembno, vendar nam daje idejo, kaj upamo, da bo pravokotna oblika izgledala. Želimo si prizadevati za nekaj brez kvadratnih korenov ali arctangents # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # ima kvadratne korenine, vendar #rcos theta = x # ne, zato se širimo.

# 4r - rcos theta = 1 #

Zdaj samo nadomestimo; naredili bomo po korakih.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Počakajmo zdaj. Vemo #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

To je lepa krožna elipsa. (Manjša konstanta kot. T #4# v izvirniku bi dobili bolj ekscentrično elipso.) Kvadrat lahko dokončamo tako, da ga postavimo v standardno obliko, vendar ga pustimo tukaj.