Kako najdete območje, ki ga omejujejo krivulje y = -4sin (x) in y = sin (2x) v zaprtem intervalu od 0 do pi?

Odgovor:

Ocenite

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Območje je: #8#

Pojasnilo:

Območje med dvema neprekinjenima funkcijama #f (x) # in #g (x) # nad #x v a, b # je:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Zato moramo ugotoviti, kdaj #f (x)> g (x) #

Naj bodo krivulje funkcije:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

To vem #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Delite z #2# kar je pozitivno:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Delite z # sinx # brez obrnjenega znaka, saj #sinx> 0 # za vsakega #x v (0, π) #

# -2> cos (x) #

Kar je nemogoče, ker:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Začetna izjava torej ne more biti resnična. Zato, #f (x) <= g (x) # za vsakega #x v 0, π #

Izračuna se integral:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#