Kakšna je enačba parabole s poudarkom na (5,3) in direktrijo y = -12?

Odgovor:

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Pojasnilo:

Opredelitev parabole navaja, da imajo vse točke na paraboli vedno enako razdaljo od fokusa in directrix.

Lahko pustimo # P = (x, y) #, ki bo predstavljal splošno točko na paraboli, lahko pustimo # F = (5,3) # predstavljajo osredotočenost in # D = (x, -12) # predstavlja najbližjo točko na direktriki, # x # je zato, ker je najbližja točka na directrixu vedno navzdol.

Zdaj lahko nastavimo enačbo s temi točkami. Za določitev razdalj bomo uporabili formulo razdalje:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

To lahko uporabimo na naših točkah, da najprej dobimo razdaljo # P # in # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Potem bomo določili razdaljo # P # in # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Ker morajo biti te razdalje med seboj enake, jih lahko postavimo v enačbo:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Od trenutka # P # je v splošni obliki in lahko predstavlja vsako točko na paraboli, če jo lahko samo rešimo # y # v enačbi bomo zapustili enačbo, ki nam bo dala vse točke na paraboli ali z drugimi besedami, to bo enačba parabole.

Najprej bomo obkrožili obe strani:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Nato lahko razširimo:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Če postavimo vse na levo in zberemo podobne izraze, dobimo:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

kar je enačba naše parabole.